Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa

22 kwietnia 2002

1. Zmienne X, Y, Z są niezależne i mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Czy zmienna arctg(2X + Y − 2Z) ma rozkład ciągły? Jeśli tak to znajdź jej gęstość.

2. Zmienne X, Y, ε_{1}, ε_{2} są niezależne, przy czym X i Y mają rozkład jednostajny na przedziale [0, 2], a ε_{1} i ε_{2} symetryczny Bernoulliego tzn. P (ε_{i} = ±1) = 0.5. Znajdź rozkłady zmiennych losowych ε_{1}X i ε_{1}X + ε_{2}Y.

3. W pewnej klasie uczy się 20 uczniów. Na każdej lekcji nauczyciel pyta losowo wybranego ucznia (jedna osoba może być wylosowana wiele razy). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 15 kolejnych lekcji żaden z uczniów nie będzie odpowiadał więcej niż jeden raz? Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby różnych uczniów przepytanych w ciągu 15 kolejnych lekcji.

4. Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na dwa tysiące daje fałszywą pozytywną odpowiedź w 2% przypadków (u osoby chorej daje zawsze pozytywną odpowiedź). Jaka jest szansa, że osoba u której test dał odpowiedź pozytywną jest faktycznie chora?

5. Załóżmy, że X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrem 1. Oblicz E(XY |X) oraz E(e^{XY}|X).

6. Udowodnij, że dla zmiennej losowej X o wartościach całkowitych nieujemnych zachodzi

EX = ∑_{n=1}^{∞} P (X n)

oraz

EX^{2} = ∑_{n=1}^{∞} (2n − 1)P (X n).

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10