Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II gr.I, 12 grudnia

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać pełne rozwiązanie każdego z nich na osobnej kartce podpisanej u góry iminiem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa I). Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-10. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. a) Wyznacz wszystkie liczby a, b, c ∈ ℝ takie, że φ(t) = e^{at^{2} +itb} cos^{2}(ct) jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej.

b) Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmienej losowej o funkcji charakterystycznej takiej jak w punkcie a).

2. Zmienna S_{n} ma rozkład Poissona z parametrem 5n. Czy ciągi \frac{S_{n}}{n} , \frac{S_{n} −5n}{\sqrt{n}} oraz \sqrt{S_{n}} − \sqrt{5n} są zbieżne według rozkładu? W przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz odpowiednie granice.

3. Załóżmy, że S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}) dla n = 1, 2, …, gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [−2, 2].

a) Znajdź wszystkie ciągi a_{n} takie, że (S_{n}^{3} + a_{n}S_{n}, F_{n})_{n 1} jest martyngałem.

b) Niech τ := inf\{n: S_{n} \sqrt{n + 3} \}. Czy τ jest momentem zatrzymania względem (F_{n})?

4. Dla każdego n = 1, 2, … zmienne X_{n} i Y_{n} są niezależne i mają jednakowy rozkład. Ponadto zmienne min(X_{n}, Y_{n}) zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednostajnym na [1, 4]. Czy zmienne max(X_{n}, Y_{n}) muszą być zbieżne według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

5. Pan Abacki przyjeżdża do pracy tramwajem, a wraca taksówką. Czas dojazdu tramwajem jest zmienną losową o średniej 40 minut i standardowym odchyleniu 4 minut, a taksówką 20 minut i standardowym odchyleniu 3 minut. Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 100 kolejnych dni roboczych pan Abacki będzie dojeżdżał do pracy o 34 godziny dłużej niż z niej wracał.

6. Wykaż, że ciąg zmiennych losowych (X_{n}) jest ciasny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu liczbowego (a_{n}) zbieżnego do zera ciąg (a_{n}X_{n}) zbiega do zera według prawdopodobieństwa.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II gr.II, 12 grudnia

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać pełne rozwiązanie każdego z nich na osobnej kartce podpisanej u góry iminiem, nazwiskiem, numerem indeksu i numerem grupy (grupa II). Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-10. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. a) Wyznacz wszystkie liczby a, b, c ∈ ℝ takie, że φ(t) = cos^{2}(at)e^{−bt^{2} +itc} jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej.

b) Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmienej losowej o funkcji charakterystycznej takiej jak w punkcie a).

2. Zmienna S_{n} ma rozkład Poissona z parametrem 3n. Czy ciągi \frac{S_{n}}{n} , \frac{S_{n} −3n}{\sqrt{n}} oraz \sqrt{S_{n}} − \sqrt{3n} są zbieżne według rozkładu? W przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz odpowiednie granice.

3. Załóżmy, że S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}) dla n = 1, 2, …, gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [−4, 4].

a) Znajdź wszystkie ciągi a_{n} takie, że (S_{n}^{3} − a_{n}S_{n}, F_{n})_{n 1} jest martyngałem.

b) Niech τ := inf\{n: S_{n} \sqrt{n + 2} \}. Czy τ jest momentem zatrzymania względem (F_{n})?

4. Dla każdego n = 1, 2, … zmienne X_{n} i Y_{n} są niezależne i mają jednakowy rozkład. Ponadto zmienne min(X_{n}, Y_{n}) zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednostajnym na [−1, 3]. Czy zmienne max(X_{n}, Y_{n}) muszą być zbieżne według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

5. Pan Abacki przyjeżdża do pracy tramwajem, a wraca taksówką. Czas dojazdu tramwajem jest zmienną losową o średniej 40 minut i standardowym odchyleniu 6 minut, a taksówką 25 minut i standardowym odchyleniu 8 minut. Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 100 kolejnych dni roboczych pan Abacki będzie dojeżdżał do pracy o 35 godzin dłużej niż z niej wracał.

6. Wykaż, że ciąg zmiennych losowych (X_{n}) jest ciasny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu liczbowego (a_{n}) zbieżnego do zera ciąg (a_{n}X_{n}) zbiega do zera według prawdopodobieństwa.