Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa 5 grudnia 2005

1. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład N (0, 1). Czy ciąg zmiennych losowych Y_{n} := n min(|X_{1}|, …, |X_{n}|) jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

2. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład Poissona o średniej 2. Niech S_{0} = 0, S_{n} = X_{1} + … + X_{n} dla n = 1, 2, . . .. Określmy τ := inf{n 1: S_{n} = S_{n−1} } Oblicz ES_{τ}.

3. Załóżmy, że (M_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞} jest martyngałem takim, że M_{0} = 0 oraz |M_{n} − M_{n−1} | = 1 p.n.

a) Udowodnij, że (M_{n}^{2} − n, F_{n}) jest martyngałem;

b) Oblicz Eτ dla τ := inf{n: |M_{n}| = 10}.

4. a) Zmienna losowa X ma funkcję charakterystyczną φ. Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej u

P(X = u) = lim_{a→∞} \frac{1}{2a} ∫_{−a}^{a} e^{−iut} φ(t)dt.

b) Udowodnij, że rozkład X jest bezatomowy (tzn. P(X = c) = 0 dla wszystkich c) wtedy i tylko wtedy gdy

lim_{a→∞} \frac{1}{2a} ∫_{−a}^{a} |φ(t)|^{2}dt = 0.

5. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i} = 0, EX_{i}^{2} = σ^{2}. Udowodnij, że dla dowolnej funkcji f : ℝ → ℝ różniczkowalnej w 0

\sqrt{n}( f( \frac{S_{n}}{n} ) − f(0)) → N (0, σ^{2}(f′(0))^{2}) według rozkładu,

gdzie jak zwykle S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}.

6. Dwuwymiarowy wektor losowy (X_{1}, X_{2}) ma łączny rozkład gaussowski ze średnią a = (a_{1}, a_{2}) i macierzą kowariancji C = (c_{ij})_{1 i,j 2} . Oblicz E(X_{1}|X_{2}). (Wsk. Znaleźć (o ile istnieje) takie ρ, że Cov(X_{2}−ρX_{1}, X_{1}) =