Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II gr.I, 1 grudnia 2008

1. Zmienne X_{i} są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2. Czy ciąg \frac{(X_{1}+...+X_{n})^{2}−4n^{2}}{n\sqrt{n}} jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

2. Czas obsługi pojedynczego klienta w kasie ma rozkład wykładniczy ze średnią 4 minuty. Zakładając, że klienci są obsługiwani w sposób niezależny oszacuj prawdopodobieństwo, że w ciągu 6 godzin uda się obsłużyć w kasie co najmniej 100 klientów.

3. Oblicz funkcję charakterystyczną zmiennej S = ∑ _{k=1}^{N+1} X_{k}, gdzie X_{k} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią 1 i wariancją 5, a N jest niezależny od (X_{k})_{k 1} oraz ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 i p = 1/5.

4. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 3. Niech S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Wyznacz wszystkie ciągi a_{n} takie, że (e^{2S_{n} +a_{n}} , F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

5. Funkcje charakterystyczne zmiennych X_{n} spełniają tożsamość

lim_{n→∞} 2tφ_{X_{n}} (t) = sin(2t) dla wszystkich t.

Oblicz lim_{n→∞} P(X_{n} t).

6. Znajdź wszystkie zmienne losowe X takie, że ciąg ((X/2)^{n})_{n 1} jest ciasny.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II gr.II, 1 grudnia 2008

1. Funkcje charakterystyczne zmiennych X_{n} spełniają tożsamość

lim_{n→∞} 3tφ_{X_{n}} (t) = sin(3t) dla wszystkich t.

Oblicz lim_{n→∞} P(X_{n} t).

2. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2. Niech S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Wyznacz wszystkie ciągi a_{n} takie, że (e^{3S_{n} −a_{n}} , F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

3. Znajdź wszystkie zmienne losowe X takie, że ciąg ((2X)^{n})_{n 1} jest ciasny.

4. Oblicz funkcję charakterystyczną zmiennej S = ∑ _{k=1}^{N+1} X_{k}, gdzie X_{k} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią 2 i wariancją 3, a N jest niezależny od (X_{k})_{k 1} oraz ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 200 i p = 1/4.

5. Zmienne X_{i} są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 3. Czy ciąg \frac{(X_{1}+...+X_{n})^{2}−9n^{2}}{n\sqrt{n}} jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

6. Czas obsługi pojedynczego klienta w kasie ma rozkład wykładniczy ze średnią 5 minut. Zakładając, że klienci są obsługiwani w sposób niezależny oszacuj prawdopodobieństwo, że w ciągu 8 godzin uda się obsłużyć w kasie co najmniej 100 klientów.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II gr.III, 1 grudnia 2008

1. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste a, b, c dla których istnieje zmienna losowa X o funkcji charakterystycznej postaci

φ_{X}(t) = ae^{bt^{2}}(1 + cos^{3}(ct)).

Oblicz EX i Var(X).

2. Zmienne X_{1}, X_{2}, …, są niezależne oraz X_{n} ma rozkład jednostajny na przedziale [−3\sqrt{n}, 3\sqrt{n}]. Czy ciąg \frac{X_{1}+...+X_{n}}{n} jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

3. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład N (0, 2). Niech S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Czy istnieje ciąg (a_{n}) taki, że (S_{n}^{3} + a_{n}S_{n}, F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem?

4. Ilość dziennych wyświetleń pewnej strony internetowej ma rozkład Poissona ze średnią 300 wyświetleń. Zakładając, że wywołania strony w kolejnych dniach są niezależne oszacuj prawdopodobieństwo, że w listopadzie strona zostanie wyświetlona co najwyżej 8800 razy.

5. Wykaż, że zmienne dodatnie X_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednostajnym na [0, 1] wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne −2 lnX_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1/2.

6. Wykaż, że P(X ∈ ℤ) = 1 wtedy i tylko wtedy gdy funkcja charakterystyczna X jest 2π-okresowa.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II gr.IV, 1 grudnia 2008

1. Zmienne X_{1}, X_{2}, …, są niezależne oraz X_{n} ma rozkład jednostajny na przedziale [−5\sqrt{n}, 5\sqrt{n}]. Czy ciąg \frac{X_{1}+...+X_{n}}{n} jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

2. Wykaż, że zmienne dodatnie X_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednostajnym na [0, 3] wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne − ln(X_{n}/3) zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1.

3. Ilość dziennych wyświetleń pewnej strony internetowej ma rozkład Poissona ze średnią 200 wyświetleń. Zakładając, że wywołania strony w kolejnych dniach są niezależne oszacuj prawdopodobieństwo, że w listopadzie strona zostanie wyświetlona co najwyżej 5900 razy.

4. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład N (0, 3). Niech S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Czy istnieje ciąg (a_{n}) taki, że (S_{n}^{3} − a_{n}S_{n}, F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem?

5. Wykaż, że P(X ∈ 2ℤ) = 1 wtedy i tylko wtedy gdy funkcja charakterystyczna X jest π-okresowa.

6. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste a, b, c dla których istnieje zmienna losowa X o funkcji charakterystycznej postaci

φ_{X}(t) = ae^{−bt^{2}} (2 + cos^{3}(ct)).

Oblicz EX i Var(X).