Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II* 10 grudnia 2012

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-10. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Dwaj gracze grają w następującą grę w kości. W pojedynczej grze każdy gracz rzuca raz kostką i ten, który uzyska mniej oczek płaci drugiemu złotówkę, a jeśli na kostkach obu graczy wypadło tyle samo oczek gracze nie zmieniają swoich kapitałów. Na początku gry gracz A ma 10 zł, gracz B ma 5 złotych, gra się kończy, gdy któryś z graczy zostaje bez pieniędzy. Oblicz

i) prawdopodobieństwo tego, że wygra gracz A, ii) wartość oczekiwaną liczby oddanych rzutów.

2. Zmienne X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}, … są niezależne, przy czym X_{n} mają rozkład wykładniczy z parametrem 1, a Y_{n} rozkład jednostajny na [−1, 1]. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu

\frac{X_{1}Y_{1} + … + X_{n}Y_{n}}{\sqrt{Y_{1}^{2} + … + Y_{n}^{2}}} .

3. Wektor (X, Y) ma rozkład gaussowski o średniej zero taki, że EX^{2} = EY^{2} = 4, EXY = 1. Oblicz

i) funkcję charakterystyczną wektora (X, Y), ii) E(X|Y) i E(X^{2}|Y).

4. Znajdź wszystkie liczby a, b i c takie, że funkcja

φ(t) = ae^{bt^{2}}(cos^{2}(ct) + 2)

jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję X.

5. Niech S_{n} = X_{1}+X_{2}+…+X_{n}, gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P(X_{i} = 1) = 1 − P(X_{i} = −1) = p oraz p ∈ (0, 1), p ≠ 1/2. Znajdź wszystkie funkcje f: ℤ → ℝ takie, że f(S_{n}) jest martyngałem względem filtracji generowanej przez S_{n}. Czy każdy taki martyngał jest zbieżny prawie na pewno?

6. Zmienne X_{n} są niezależne oraz mają jednakowy rozkład ze średnią zero i wariancją 1. Czy ciąg

T_{n} = \frac{X_{1} + \sqrt{2}X_{2} + … + \sqrt{n}X_{n}}{n}

jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?