Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II* gr.I, 4 grudnia 2008

1. Wyznacz wszystkie funkcje f: ℕ → ℕ takie, że dla dowolnego skończonego momentu zatrzymania τ, f(τ) też jest momentem zatrzymania względem tej samej filtracji co τ.

2. Zmienne X_{n} i Y_{n} są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2n. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n^{−5/2} (X_{n}^{3} − Y_{n}^{3}).

3. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [−1, 1], S_{n} = X_{1} + …+ X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Znajdź wszystkie wielomiany w(x) takie, że (w(S_{n}), F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

4. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład wykładniczy ze średnią 2. Czy ciąg n^{−3/2} ∑ _{k=1}^{n} k(X_{k} − 2) jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

5. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona z parametrem 2. Określmy S_{0} = 0, S_{n} = X_{1}+…+ X_{n} dla n = 1, 2, . . .. Niech τ = inf{n 0: S_{n} = S_{n−1} }, znajdź funkcję charakterystyczną zmiennej S_{τ}.

6. Znajdź wszystkie zmienne losowe X takie, że jeśli Y jest zmienną N (0, 1) niezależną od X, to 2X +Y ma ten sam rozkład, co X +3Y +1.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II* gr.II, 4 grudnia 2008

1. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [−2, 2], S_{n} = X_{1} + …+ X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Znajdź wszystkie wielomiany w(x) takie, że (w(S_{n}), F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

2. Wyznacz wszystkie funkcje f: ℕ → ℕ takie, że dla dowolnego skończonego momentu zatrzymania τ, f(τ) też jest momentem zatrzymania względem tej samej filtracji co τ.

3. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład wykładniczy ze średnią 1. Czy ciąg n^{−3/2} ∑ _{k=1}^{n} k(X_{k} − 1) jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

4. Znajdź wszystkie zmienne losowe X takie, że jeśli Y jest zmienną N (0, 1) niezależną od X, to 3X +Y ma ten sam rozkład, co X +2Y −1.

5. Zmienne X_{n} i Y_{n} są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 3n. Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n^{−5/2} (X_{n}^{3} − Y_{n}^{3}).

6. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona z parametrem 3. Określmy S_{0} = 0, S_{n} = X_{1}+…+ X_{n} dla n = 1, 2, . . .. Niech τ = inf{n 0: S_{n} = S_{n−1} }, znajdź funkcję charakterystyczną zmiennej S_{τ}.