Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa I gr.I, 26 kwietnia 2007

1. Zdarzenia A_{i} są niezależne oraz P(A_{1}) = P(A_{2}) = 1/2, P(A_{3}) = P(A_{4}) = 3/4. Oblicz P(⋃ _{i=1}^{4} A_{i}) oraz P((A_{1} ∪ A_{2}) \ (A_{3} ∪ A_{4})).

2. W szafce znajduje się 20 par butów. Z szafki na chybił trafił wyciągnięto 16 butów.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wyciągnietych butów nie ma żadnej pary.

b) Oblicz wartość oczekiwaną liczby par butów, które znajdują się wśród wyciągniętych butów. (Proszę o podanie dokładnej odpowiedzi liczbowej).

3. Zmienna X ma rozkład normalny N (0, 1). Czy zmienna losowa Y = min(|X|, |X|^{2}) ma rozkład ciągły? W przypadku pozytywnej odpowiedzi proszę podać gęstość.

4. Przypuśćmy, że 10% wszystkich kostek do gry jest sfałszowanych - zawsze wypada na nich szóstka. Wybieramy losowo dwie kostki i rzucamy nimi.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 11 oczek?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że conajmniej jedna z wybranych kostek była sfałszowana, jeśli wyrzuciliśmy 11 oczek?

5. Zmienna losowa X ma gęstość \frac{1}{4}xI_{[1,3]}(x).

a) Oblicz P(|X − 2| 1/2) oraz EX.

b) Znajdź dystrybuantę zmiennej Y = min(X, 2). Czy zmienna Y ma rozkład ciągły? Jeśli tak, to podaj gęstość.

6* Niech X_{n} oznacza najdłuższą serię orłów w n rzutach monetą (np. dla ciągu OORROROOORO, X_{11} = 3). Udowodnij, że

a) P (X_{n} λ log_{2} n) −→ 0 dla λ > 1,

b) P (X_{n} λ log_{2} n) −→ 1 dla 0 < λ < 1.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa I gr.II, 26 kwietnia 2007

1. Przypuśćmy, że 20% wszystkich kostek do gry jest sfałszowanych - zawsze wypada na nich jedynka. Wybieramy losowo dwie kostki i rzucamy nimi.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 3 oczek?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że conajmniej jedna z wybranych kostek była sfałszowana, jeśli wyrzuciliśmy w sumie 3 oczka?

2. Zmienna losowa X ma gęstość \frac{1}{12}xI_{[1,5]}(x).

a) Oblicz P(|X − 3| 1) oraz EX.

b) Znajdź dystrybuantę zmiennej Y = min(X, 3). Czy zmienna Y ma rozkład ciągły? Jeśli tak, to podaj gęstość.

3. Zdarzenia A_{i} są niezależne oraz P(A_{1}) = P(A_{2}) = 2/3, P(A_{3}) = P(A_{4}) = 1/2. Oblicz P((A_{1} ∪ A_{2}) \ (A_{3} ∪ A_{4})) oraz P(⋃ _{i=1}^{4} A_{i}).

4. W szafce znajduje się 16 par butów. Z szafki na chybił trafił wyciągnięto 14 butów.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wyciągnietych butów nie ma żadnej pary.

b) Oblicz wartość oczekiwaną liczby par butów, które znajdują się wśród wyciągniętych butów. (Proszę o podanie dokładnej odpowiedzi liczbowej).

5. Zmienna X ma rozkład normalny N (0, 1). Czy zmienna losowa Z = min(|X|, |X|^{4}) ma rozkład ciągły? W przypadku pozytywnej odpowiedzi proszę podać gęstość.

6* Niech X_{n} oznacza najdłuższą serię orłów w n rzutach monetą (np. dla ciągu OORROROOORO, X_{11} = 3). Udowodnij, że

a) P (X_{n} λ log_{2} n) −→ 0 dla λ > 1,

b) P (X_{n} λ log_{2} n) −→ 1 dla 0 < λ < 1.