Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa I* gr.I, 9 maja 2012

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-10. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład mają rozkład jednostajny na [−3, 3]. Oblicz E(max(X, Y)|X), E((X +2Y)^{2}|X) oraz E(X|X +Y).

2. Zmienne N oraz X_{1}, X_{2}, … są niezależne, przy czym N ma rozkład Poissona z parametrem 1, a X_{i} rozkład wykładniczy z parametrem 2. Niech S = ∑ _{i=1}^{N} X_{i} (S = 0 dla N = 0). Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję S.

3. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład N (0, 1). Dla jakich t ∈ ℝ,

f(t) := E exp(t(2X − 3Y)^{2}) < ∞?

Oblicz f(t).

4. Niezależne zmienne losowe X_{1}, X_{2}, X_{3} mają rozkład jednostajny na [0, 3]. Znajdź rozkłady zmiennych losowych max(X_{1}, X_{2}) i max(X_{1}, X_{2})+ X_{3}.

5. Przy okrągłym stole w sposób losowy posadzono 15 kobiet i 15 mężczyzn.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kobiety nie siedzą obok siebie?

b) Oblicz wartość oczekiwaną liczby kobiet siedzących między dwoma mężczyznami. (Proszę o podanie dokładnej odpowiedzi liczbowej).

6. Liczba jajeczek złożonych przez owada ma rozkład Poissona z parametrem 5. Z każdego jajeczka (niezależnie od pozostałych jajeczek) z prawdopodobieństwem 0.8 wykluwa się owad.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo wyklucia się dokładnie k owadów?

b) Wiemy, że z jajeczek wykluły się 4 owady. Jakie jest prawdopodobieństwo, że owad złożył więcej niż 4 jajeczka?

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa I* gr.II, 9 maja 2012

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-10. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Liczba jajeczek złożonych przez owada ma rozkład Poissona z parametrem 8. Z każdego jajeczka (niezależnie od pozostałych jajeczek) z prawdopodobieństwem 0.5 wykluwa się owad.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo wyklucia się dokładnie k owadów?

b) Wiemy, że z jajeczek wykluły się 3 owady. Jakie jest prawdopodobieństwo, że owad złożył więcej niż 3 jajeczka?

2. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład N (0, 1). Dla jakich t ∈ ℝ,

f(t) := E exp(t(2X − 5Y)^{2}) < ∞?

Oblicz f(t).

3. Przy okrągłym stole w sposób losowy posadzono 20 kobiet i 20 mężczyzn.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kobiety nie siedzą obok siebie?

b) Oblicz wartość oczekiwaną liczby kobiet siedzących między dwoma mężczyznami. (Proszę o podanie dokładnej odpowiedzi liczbowej).

4. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na [−2, 2]. Oblicz E(max(X, Y)|X), E((X + 3Y)^{2}|X) oraz E(X|X + Y).

5. Zmienne N oraz X_{1}, X_{2}, … są niezależne, przy czym N ma rozkład Poissona z parametrem 2, a X_{i} rozkład wykładniczy z parametrem 1. Niech S = ∑ _{i=1}^{N} X_{i} (S = 0 dla N = 0). Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję S.

6. Niezależne zmienne losowe X_{1}, X_{2}, X_{3} mają rozkład jednostajny na [0, 2]. Znajdź rozkłady zmiennych losowych max(X_{1}, X_{2}) i max(X_{1}, X_{2})+ X_{3}.