Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa grupa I, 19 grudnia 2000

1. Zmienna losowa X o średniej 1 i wariancji 4 ma funkcjȩ charakterystyczna̧ φ. Oblicz φ(0), φ′(0) oraz φ′′(0).

2. Zmienne X_{n} oraz Y_{n} zbiegaja̧ według rozkładu do zmiennej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 2. Wiedza̧c, że dla wszystkich n zmienne X_{n} oraz Y_{n} sa̧ niezależne udowodnij, że zmienne min(X_{n}, Y_{n}) zbiegaja̧ według rozkładu do zmiennej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 4.

3. Zmienne σ oraz τ sa̧ momentami zatrzymania wzglȩdem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞}. Które ze zmiennych: σ + 2, σ − 2, σ^{2}, σ + τ musza̧ być momentami zatrzymania wzglȩdem tej samej filtracji? Odpowiedź uzasadnij.

4. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrem 5, S_{n} = X_{1}+X_{2}+…+X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}). Dla liczby rzeczywistej t znajdź taka̧ liczbȩ a, że (e^{tS_{n}−na}, F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

5. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że P (X_{i} = e^{2}) = P (X_{i} = e^{−2}) = \frac{1}{2} dla i = 1, 2, . . .. Wykaż, że zmienne

Y_{n} = (X_{1}X_{2} ⋯ X_{n})^{\frac{1}{\sqrt{n}}}

zbiegaja̧ według rozkładu do pewnej zmiennej Y oraz ln Y ma rozkład normalny. Oblicz P (Y ≤ e).

6. Zmienne losowe ε, X, Y sa̧ niezależne przy czym X i Y maja̧ rozkład eksponencjalny z parametrem 3, a P (ε = ±1) = \frac{1}{2}. Znajdź funkcje charakterystyczne zmiennych Z_{1} = εX oraz Z_{2} = X − Y. Czy Z_{1} ma taki sam rozkład jak Z_{2}?

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa grupa II, 19 grudnia 2000

1. Zmienne losowe ε, X, Y sa̧ niezależne przy czym X i Y maja̧ rozkład eksponencjalny z parametrem 4, a P (ε = ±1) = \frac{1}{2}. Znajdź funkcje charakterystyczne zmiennych Z_{1} = εX oraz Z_{2} = X − Y. Czy Z_{1} ma taki sam rozkład jak Z_{2}?

2. Zmienne σ oraz τ sa̧ momentami zatrzymania wzglȩdem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞}. Które ze zmiennych: σ^{3}, σ + 1, σ − 1, , σ + τ musza̧ być momentami zatrzymania wzglȩdem tej samej filtracji? Odpowiedź uzasadnij.

3. Zmienna losowa X o średniej 3 i wariancji 1 ma funkcjȩ charakterystyczna̧ φ. Oblicz φ(0), φ′(0) oraz φ′′(0).

4. Zmienne X_{n} oraz Y_{n} zbiegaja̧ według rozkładu do zmiennej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 6. Wiedza̧c, że dla wszystkich n zmienne X_{n} oraz Y_{n} sa̧ niezależne udowodnij, że zmienne min(X_{n}, Y_{n}) zbiegaja̧ według rozkładu do zmiennej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 12.

5. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że P (X_{i} = e^{3}) = P (X_{i} = e^{−3}) = \frac{1}{2} dla i = 1, 2, . . .. Wykaż, że zmienne

Y_{n} = (X_{1}X_{2} ⋯ X_{n})^{\frac{1}{\sqrt{n}}}

zbiegaja̧ według rozkładu do pewnej zmiennej Y oraz ln Y ma rozkład normalny. Oblicz P (Y ≥ e^{−1}).

6. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrem 3, S_{n} = X_{1}+X_{2}+…+X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}). Dla liczby rzeczywistej t znajdź taka̧ liczbȩ a, że (e^{tS_{n}−na}, F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10.