Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa grupa I, 18 grudnia 2000

1. Zmienna losowa X ma funkcjȩ charakterystyczna̧ φ. Udowodnij, że X przyjmuje z prawdopodobieństwem 1 wartości całkowite wtedy i tylko wtedy gdy φ(2π) = 1.

2. Zmienne losowe N, X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne, przy czym N ma rozkład Poissona z parametrem 2, zaś wszystkie X_{i} maja̧ ten sam rozkład wykładniczy z parametrem 5. Znajdź funkcjȩ charkterystyczna̧ zmiennej losowej S = ∑_{i=1}^{N} X_{i} (przyjmujemy, że S = 0 gdy N = 0).

3. Zmienne X_{n} zbiegaja̧ według rozkładu do zmiennej X, a zmienne −\frac{1}{2} ln X_{n} do zmiennej Y. Wykaż, że X ma rozkład jednostajny na [0, 1] wtedy i tylko wtedy gdy Y ma rozkład wykładniczy z parametrem 2.

4. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (1, 2), S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}). Dla liczby rzeczywistej t znajdź taka̧ liczbȩ zespolona̧ a ≠ 0, że (a^{n}e^{itS_{n}}, F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

5. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Cauchy’ego, F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}). Które z nastȩpuja̧cych zmiennych losowych sa̧ momentami zatrzymania wzglȩdem (F_{n}):

a) σ_{1} = inf{n : X_{n} ≥ n},

b) σ_{2} = inf{n ≥ 2 : X_{n} ≥ X_{n−1}},

c) σ_{3} = inf{n : X_{n+1} ≥ X_{n}}?

6. W czasie szczytu liczba rozmów łaczona przez pewna̧ centralȩ w cia̧gu godziny ma rozkład Poissona ze średnia̧ 100. Zakładaja̧c niezależność liczby rozmów w różnych godzinach oszacuj prawdopodobieństwo, że centrala połaczy w cia̧gu 400 kolejnych godzin szczytu miȩdzy 40 a 42 tysia̧ce rozmów.

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10.

Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa grupa II, 18 grudnia 2000

1. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie geometrycznym z parametrem 0.5, F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}). Które z nastȩpuja̧cych zmiennych losowych sa̧ momentami zatrzymania wzglȩdem (F_{n}):

a) σ_{1} = inf{n : X_{n} = n},

b) σ_{2} = inf{n ≥ 2 : X_{n} = X_{n−1}},

c) σ_{3} = inf{n : X_{n+1} = X_{n}}?

2. Zmienne losowe N, X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne, przy czym N ma rozkład Poissona z parametrem 2, zaś wszystkie X_{i} maja̧ ten sam rozkład jednostajny na [−2, 2] Znajdź funkcjȩ charakterystyczna̧ zmiennej losowej S = ∑_{i=1}^{N} X_{i} (przyjmujemy, że S = 0 gdy N = 0).

3. Zmienne X_{n} zbiegaja̧ według rozkładu do zmiennej X, a zmienne − ln \frac{X_{n}}{2} do zmiennej Y. Wykaż, że X ma rozkład jednostajny na [0, 2] wtedy i tylko wtedy gdy Y ma rozkład wykładniczy z parametrem 1.

4. Zmienna losowa X ma funkcjȩ charakterystyczna̧ φ. Udowodnij, że X przyjmuje z prawdopodobieństwem 1 wartości całkowite parzyste wtedy i tylko wtedy gdy φ(π) = 1.

5. W czasie szczytu liczba rozmów łaczona przez pewna̧ centralȩ w cia̧gu godziny ma rozkład Poissona ze średnia̧ 40. Zakładaja̧c niezależność liczby rozmów w różnych godzinach oszacuj prawdopodobieństwo, że centrala połaczy w cia̧gu 1000 kolejnych godzin szczytu miȩdzy 38 a 40 tysiȩcy rozmów.

6. Niech X_{1}, X_{2}, … bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (2, 1), S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}). Dla liczby rzeczywistej t znajdź taka̧ liczbȩ zespolona̧ a ≠ 0, że (a^{n}e^{itS_{n}}, F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10.