Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa

11 grudnia 2000

1. Załóżmy, że X_{n} → X według rozkładu, zaś Y_{n} → c według rozkładu, gdzie c jest stała̧. Udowodnij, że X_{n}Y_{n} zbiega według rozkladu do cX.

2. Zmienna losowa X ma funkcjȩ charakterystyczna̧ φ. Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej u

P (X = u) = lim_{a→∞} \frac{1}{2a} ∫_{−a}^{a} e^{−iut}φ(t)dt.

3. Zmienne losowe N, X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne przy czym N ma rozkład Poissona z parametrem λ, a wszystkie X_{i} maja̧ jednakowy rozkład jednostajny na [−1, 1]. Znajdź funkcjȩ charakterystyczna̧ zmiennej S = ∑_{i=1}^{N} X_{i} (przyjmujemy, że S = 0 gdy N = 0).

4. Zmienne X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne i maja̧ jednakowy rozkład taki, że EX_{i} = 0, EX_{i}^{2} = 1. Dany jest cia̧g a_{n} spełniaja̧cy warunek

lim_{n→∞} s_{n}^{−1} max_{k≤n} |a_{k}| = 0, gdzie s_{n} = \sqrt{∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}}.

Wykaż, że

\frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}X_{k}}{s_{n}} → N (0, 1) według rozkładu.

5. Dane sa̧ dwa martyngały X_{n} i Y_{n} wzglȩdem ustalonej filtracji F_{n} oraz moment zatrzymania τ taki, że X_{τ} = Y_{τ}. Udowodnij, że zmienne Z_{n} dane wzorem

Z_{n} = Y_{n} dla n > τ oraz Z_{n} = X_{n} dla n ≤ τ

też sa̧ martyngałem.

6. Wykaż, że dla dowolnego martyngału X_{n} takiego, że EX_{n}^{2} < ∞ dla n = 1, 2, … zachodzi wzór

EX_{n}^{2} = EX_{0}^{2} + ∑_{k=1}^{n} E(X_{k} − X_{k−1})^{2}.

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10