Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa

17 kwietnia 2000

1. Zmienne X, Y, Z sa̧ niezależne i maja̧ standardowy rozkład normalny N (0, 1). Czy zmienna |2X + Y + 2Z|^{1/2} ma rozkład cia̧gły? Jeśli tak to znajdź jej gȩstość.

2. Zmienne X, Y, ε_{1}, ε_{2} sa̧ niezależne przy czym X i Y maja̧ rozkład eksponencjalny z parametrem 2, a ε_{1} i ε_{2} symetryczny Bernoulliego tzn P (ε_{i} = ±1) = 0.5. Znajdź rozkład zmiennej losowej ε_{1}X + ε_{2}Y.

3. Klasȩ składaja̧ca̧ siȩ z 12 chłopców i 12 dziewczyn pogrupowano losowo w 12 par. Niech X oznacza liczbȩ par mȩsko-damskich. Znajdź wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ X.

4. Przypuśćmy, że 10% wszystkich kostek do gry jest sfałszowanych - zawsze wypada na nich szóstka. Wybieramy losowo dwie kostki i rzucamy nimi.

a) jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 11 oczek

b) jakie jest prawdopodobieństwo, że conajmniej jedna z wybranych kostek była sfałszowana, jeśli wyrzuciliśmy 11 oczek?

5. Załóżmy, że X, Y sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na (0, 1), Oblicz E(X + Y |X) oraz E(max(X, Y)|X).

6. Zmienne X_{0}, X_{1}, … sa̧ niezależne. Udowodnij, że promień zbieżności losowego szeregu potȩgowego S(z) = ∑_{k=0}^{∞} X_{k}z^{k} jest p.w. stały (tzn. istnieje r ∈ [0, ∞] takie, że promień zbieżności szeregu S jest równy r z prawdopodobieństwem 1).

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10

Powodzenia i Wesołych Świat!!