Kolokwium, 9.04.2001 grupa I

1. Zdarzenia A, B, C są niezależne, przy czym P (A) = P (B) = 1/2, P (C) = 1/3. Oblicz P (A − (B ∪ C)).

2. Rzucamy trzy razy monetą, a następnie tyle razy kostką ile wypadło orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że

a) wyrzucimy co najmniej jedną szóstkę ?

b) wyrzuciliśmy same orły jeśli wiadomo, że wyrzuciliśmy przynajmniej jedną szóstkę ?

3. Niech X ma gęstość f(x) = Ce^{−|x|} . Znaleźć C, P (X > −1) i dystrybuantę.

4. Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem 2. Znaleźć rozkład a) Y = e^{−X} ;

b) Z = min(X, X^{3}). Czy są to rozkłady ciągłe? Jeśli tak, to znaleźć gęstość.

5. Jest n osób A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}. Osoba A_{1} dostaje kartkę ze znakiem +. Z prawdopodobieństwem p, 0 < p < 1, zmienia znak na przeciwny i podaje kartkę osobie A_{2}. Ona znowu z prawdopodobieństwem p zmienia znak na przeciwny i podaje kartkę osobie A_{3}, itd. Na końcu po oddaniu kartki przez osobę A_{n} zaobserwowano znak +. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba A_{1} nie zmieniła znaku?

6. Niech X_{n} oznacza najdłuższą serię orłów w n rzutach monetą (np. dla ciągu OORROROOORO, X_{11} = 3). Udowodnij, że

a) P (X_{n} λ log_{2} n) −→ 0 dla λ > 1,

b) P (X_{n} λ log_{2} n) −→ 1 dla 0 < λ < 1.

Krótkie odpowiedzi

1. \frac{1}{6}.

2. a) \frac{397}{1728} ; b) \frac{91}{397} .

3. C = \frac{1}{2}, P (X > −1) = 1 − \frac{1}{2}e^{−1} , dystrybuanta 1 − \frac{1}{2}e^{−t} dla t 0 i \frac{1}{2}e^{t} dla t < 0.

4. Oba rozkłady są ciągłe. Y ma gęstość 2tI_{{0 t 1}} , zaś Z ma gęstość 2e^{−2t} I_{{t 1}} + \frac{2}{3}t^{−2/3} e^{−2t^{1/3}} I_{\{0<t<1\}} .

5. \frac{(1−p)(1+(1−2p)^{n−1}}{1+(1−2p)^{n}} .

Kolokwium, 9.04.2001 grupa II

1. Zdarzenia A, B, C są niezależne, przy czym P (A) = P (B) = 2/3, P (C) = 1/2. Oblicz P (A − (B ∪ C)).

2. Rzucamy trzy razy monetą, a następnie tyle razy kostką ile wypadło reszek. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że

a) wyrzucimy co najmniej jedną jedynkę ?

b) wyrzuciliśmy same orły jeśli wiadomo, że wyrzuciliśmy przynajmniej jedną jedynkę ?

3. Niech X ma gęstość f(x) = 2Ce^{−|x|} . Znaleźć C, P (X > −2) i dystrybuantę.

4. Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Znaleźć rozkład a) Y = e^{−X} ;

b) Z = min(X, X^{4}). Czy są to rozkłady ciągłe? Jeśli tak, to znaleźć gęstość.

5. Jest n osób A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}. Osoba A_{1} dostaje kartkę ze znakiem +. Z prawdopodobieństwem p, 0 < p < 1, zmienia znak na przeciwny i podaje kartkę osobie A_{2}. Ona znowu z prawdopodobieństwem p zmienia znak na przeciwny i podaje kartkę osobie A_{3}, itd. Na końcu po oddaniu kartki przez osobę A_{n} zaobserwowano znak +. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba A_{1} nie zmieniła znaku?

6. Niech X_{n} oznacza najdłuźszą serię orłów w n rzutach monetą (np dla ciągu OORROROOORO, X_{11} = 3). Udowodnij, że

a) P (X_{n} λ log_{2} n) −→ 0 dla λ > 1,

b) P (X_{n} λ log_{2} n) −→ 1 dla 0 < λ < 1.

Krótkie odpowiedzi

1. \frac{1}{9}.

2. a) \frac{397}{1728} ; b) 0.

3. C = \frac{1}{4}, P (X > −2) = 1 − \frac{1}{2}e^{−2} , dystrybuanta 1 − \frac{1}{2}e^{−t} dla t 0 i \frac{1}{2}e^{t} dla t < 0.

4. Oba rozkłady są ciągłe. Y ma gęstość tI_{{0 t 1}} , zaś Z ma gęstość e^{−t} I_{{t 1}} + \frac{1}{4}t^{−3/4} e^{−t^{1/4}} I_{\{0<t<1\}} .

5. \frac{(1−p)(1+(1−2p)^{n−1}}{1+(1−2p)^{n}} .