Kartkówka 4 gr.1, 15 stycznia 2014

1. Dany jest ciąg zmiennych losowych (X_{n})_{n 0} o wartościach całkowitych taki, że X_{0} = 0, |X_{n} − X_{n−1} | 1, lim sup_{n→∞} |X_{n}| = ∞ p.n. oraz (X_{n}^{2} − \frac{1}{10}n) jest martyngałem względem pewnej filtracji. Niech τ = inf{n: |X_{n}| = 5}, oblicz Eτ.

2. Niech X_{n} będzie łańcuchem Markowa o przestrzeni stanów {1, 2, 3} i

macierzy przejścia P = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix} ) , Oblicz P(X_{2} = 1|X_{0} = 1) i

P(X_{2} = X_{1}|X_{0} = 1).

Kartkówka 3 gr.2, 15 stycznia 2014

1. Niech X_{n} będzie łańcuchem Markowa o przestrzeni stanów {1, 2, 3} i

macierzy przejścia P = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \end{matrix} ) , Oblicz P(X_{2} = 2|X_{0} = 1) i

P(X_{2} = X_{1}|X_{0} = 1).

2. Dany jest ciąg zmiennych losowych (X_{n})_{n 0} o wartościach całkowitych taki, że X_{0} = 0, |X_{n} − X_{n−1} | 1, lim sup_{n→∞} |X_{n}| = ∞ p.n. oraz (X_{n}^{2} − \frac{1}{5}n) jest martyngałem względem pewnej filtracji. Niech τ = inf{n: |X_{n}| = 1}, oblicz Eτ.