Kartkówka 4 gr.1, 12 stycznia 2009

1. Niech S_{n} = ∑ _{k=1}^{n} \frac{1}{k+2} X_{k}, gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie jednostajnym na (−1, 1).

a) Znajdź ciąg (a_{n}) taki, że (S_{n}^{2} − a_{n})_{n 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez ciąg (X_{n}).

b) Czy ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno? (Wsk.: |a − b| (a − b) + 2b dla a, b > 0.)

2. Dany jest ciąg zmiennych losowych X_{n} o wartościach całkowitych taki, że X_{0} = 1, |X_{n} − X_{n−1} | 1, lim sup_{n→∞} |X_{n}| = ∞ p.n. oraz (X_{n}^{2} − \frac{1}{4}n) jest martyngałem względem pewnej filtracji. Niech τ = inf{n: |X_{n}| = 5}, oblicz 𝔼τ.

Kartkówka 4 gr.2, 12 stycznia 2010

1. Dany jest ciąg zmiennych losowych X_{n} o wartościach całkowitych taki, że X_{0} = 2, |X_{n} − X_{n−1} | 1, lim sup_{n→∞} |X_{n}| = ∞ p.n. oraz (X_{n}^{2} − \frac{1}{5}n)_{n 0} jest martyngałem względem pewnej filtracji. Niech τ = inf{n: |X_{n}| = 6}, oblicz 𝔼τ.

2. Niech S_{n} = ∑ _{k=1}^{n} \frac{1}{2k+1} X_{k}, gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie jednostajnym na (−1, 1).

a) Znajdź ciąg (a_{n}) taki, że (S_{n}^{2} − a_{n})_{n 0} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez ciąg (X_{n}).

b) Czy ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno? (Wsk.: |a − b| (a − b) + 2b dla a, b > 0.)