Kartkówka 4 gr.1, 30 maja 2012

1. Które prawdopodobieństwo jest większe - tego, że w 1200 rzutach kostką wypadnie nie mniej niż 240 szóstek czy tego, że w 500 rzutach monetą wypadnie nie więcej 230 orłów?

2. Zmienne X_{1}, X_{2}, ⋯są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 3. Czy ciąg

\frac{X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + … + X_{n}X_{n+1}}{1 + X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + … + X_{n}^{2}}

jest zbieżny prawie na pewno? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

3* Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne i nieujemne. Wykaż, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} X_{n} jest zbieżny prawie na pewno wtedy i tylko wtedy, gdy ∑ _{n=1}^{∞} 𝔼\frac{X_{n}}{X_{n} +1} < ∞.

Kartkówka 3 gr.2, 30 maja 2012

1. Które prawdopodobieństwo jest większe - tego, że w 1200 rzutach kostką wypadnie mniej niż 190 szóstek czy tego, że w 500 rzutach monetą wypadnie więcej niż 270 orłów?

2. Zmienne X_{1}, X_{2}, ⋯są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2. Czy ciąg

\frac{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + … + X_{n}^{2}}{1 + X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + … + X_{n}X_{n+1}}

jest zbieżny prawie na pewno? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

3* Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne i nieujemne. Wykaż, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} X_{n} jest zbieżny prawie na pewno wtedy i tylko wtedy, gdy ∑ _{n=1}^{∞} 𝔼\frac{X_{n}}{X_{n} +1} < ∞.