Kartkówka 3 gr.1, 12 stycznia 2009

1. Niech S_{n} = ∑ _{k=1}^{n} \frac{1}{k}X_{k}, gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie jednostajnym na [−2, 2].

a) Znajdź ciąg (a_{n}) taki, że S_{n}^{2} − a_{n} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez ciąg (X_{n}).

b) Czy ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno?

2. Niech X_{n} będzie symetrycznym błądzeniem po prostej. Wykaż, że X_{n}mod 4 jest łańcuchem Markowa i znajdź macierz przejścia dla tego łańcucha.

Kartkówka 3 gr.2, 12 stycznia 2009

1. Niech X_{n} będzie symetrycznym błądzeniem po prostej. Wykaż, że X_{n}mod 3 jest łańcuchem Markowa i znajdź macierz przejścia dla tego łańcucha.

2. Niech S_{n} = ∑ _{k=1}^{n} k^{−3/2} X_{k}, gdzie X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie jednostajnym na [−1, 1].

a) Znajdź ciąg (a_{n}) taki, że S_{n}^{2} − a_{n} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez ciąg (X_{n}).

b) Czy ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno?

Kartkówka 3 gr.3, 12 stycznia 2009

1. Niech S_{n} = X_{1}+…+X_{n}, gdzie X_{i} są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1.

a) Znajdź takie λ > 0, że λ^{n}e^{S_{n} /2} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez ciąg (X_{n}).

b) Czy ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno? A w L^{1}?

2. (X_{n}) jest jednorodnym łańcuchem Markowa o wartościach całkowitych. Które z następujących ciągów muszą być łańcuchami Markowa (X_{n}^{2}), (X_{n+2} ), (X_{n}^{3}), (X_{2n})?

Kartkówka 3 gr.4, 12 stycznia 2009

1. (X_{n}) jest jednorodnym łańcuchem Markowa o wartościach całkowitych. Które z następujących ciągów muszą być łańcuchami Markowa (X_{n}^{3}), (X_{2n}), (X_{n}^{4}), (X_{n+4} )?

2. Niech S_{n} = X_{1}+…+X_{n}, gdzie X_{i} są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1.

a) Znajdź takie λ > 0, że λ^{n}e^{S_{n} /3} jest martyngałem względem filtracji generowanej przez ciąg (X_{n}).

b) Czy ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno? A w L^{1}?