Kartkówka 3 gr.1, 9 maja 2012

1. Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład jednostajny na [−1, 1], a Y rozkład Poissona z parametrem 5. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej XY.

2. W pewnej klasie uczy się 14 chłopców i 10 dziewczynek. Dzieci z klasy podzielono w sposób losowy na 8 trójek. Oblicz wartość oczekiwaną liczby trójek złożonych z samych chłopców.

3* Niech R oznacza promień zbieżności szeregu potęgowego ∑ _{n=0}^{∞} X_{n}z^{n}, gdzie X_{0}, X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi. Wykaż, że istnieje liczba r ∈ [0, ∞] taka, że ℙ(R = r) = 1.

Kartkówka 3 gr.2, 9 maja 2012

1. W pewnej klasie uczy się 12 chłopców i 15 dziewczynek. Dzieci z klasy podzielono w sposób losowy na 9 trójek. Oblicz wartość oczekiwaną liczby trójek złożonych z samych dziewczynek.

2. Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład jednostajny na [−2, 2], a Y rozkład Poissona z parametrem 2. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej XY.

3* Niech R oznacza promień zbieżności szeregu potęgowego ∑ _{n=0}^{∞} X_{n}z^{n}, gdzie X_{0}, X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi. Wykaż, że istnieje liczba r ∈ [0, ∞] taka, że ℙ(R = r) = 1.