Kartkówka 2 gr.1, 11 stycznia 2012

1. Załóżmy, że X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, a]. Wyznacz wszystkie liczby a > 0 takie, że ciąg R_{n} = X_{1}^{3}X_{2}^{3} ⋯ X_{n}^{3} jest nadmartyngałem względem filtracji generowanej przez X_{n}. Czy ten nadmartyngał jest zbieżny według rozkładu?

2. Dany jest ciąg zmiennych losowych X_{n} o wartościach całkowitych taki, że X_{0} = 2, |X_{n} − X_{n−1} | 1, lim sup_{n→∞} |X_{n}| = ∞ p.n. oraz (X_{n}^{2} − \frac{1}{6}n) jest martyngałem względem pewnej filtracji. Niech τ = inf{n: |X_{n}| = 5}, oblicz Eτ.

Kartkówka 2 gr.2, 11 stycznia 2012

1. Dany jest ciąg zmiennych losowych X_{n} o wartościach całkowitych taki, że X_{0} = −1, |X_{n}−X_{n−1} | 1, lim sup_{n→∞} |X_{n}| = ∞ p.n. oraz (X_{n}^{2}− \frac{1}{5}n) jest martyngałem względem pewnej filtracji. Niech τ = inf{n: |X_{n}| = 7}, oblicz Eτ.

2. Załóżmy, że X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale [a, 2a]. Wyznacz wszystkie liczby a > 0 takie, że ciąg R_{n} = X_{1}^{2} ⋯ X_{n}^{2} jest nadmartyngałem względem filtracji generowanej przez X_{n}. Czy ten nadmartyngał jest zbieżny według rozkładu?