Kartkówka 2 gr.1, 14 grudnia 2008

1. Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania względem (F_{n})_{n 0} oraz f: ℕ → ℕ spełnia f(n) n dla wszystkich n, to f(τ) jest momentem zatrzymania względem tej samej filtracji.

2. (M_{n}, F_{n})_{n 0} jest martyngałem takim, że M_{0} = 0, M_{n+1} −M_{n} ∈ {0, 1, −1} p.n. oraz (5M_{n}^{2} − n, F_{n})_{n 0} jest martyngałem. Oblicz Eτ dla τ = inf{n: |M_{n}| = 6}.

Kartkówka 2 gr.2, 14 grudnia 2008

1. (M_{n}, F_{n})_{n 0} jest martyngałem takim, że M_{0} = 0, M_{n+1} −M_{n} ∈ {0, 1, −1} p.n. oraz (4M_{n}^{2} − n, F_{n})_{n 0} jest martyngałem. Oblicz Eτ dla τ = inf{n: |M_{n}| = 4}.

2. Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania względem (F_{n})_{n 0} oraz f: ℕ → ℕ spełnia f(n) n dla wszystkich n, to f(τ) jest momentem zatrzymania względem tej samej filtracji.

Kartkówka 2 gr.3, 14 grudnia 2008

1. Zmienne X_{i} są niezależne, P(X_{i} = 1) = P(X_{i} = −1) = 1/4, P(X_{i} = 0) = 1/2. Niech S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}).

a) Znajdź a takie, że (S_{n}^{2} − an, F_{n}) jest martyngałem.

b) Oblicz Eτ dla τ = inf{n: |S_{n}| = 4}.

2. (M_{n}, F_{n})_{n 0} jest martyngałem takim, że EM_{n}^{2} < ∞. Dla jakich a, b, c, ciąg (aM_{n}^{2} + bM_{n} + c, F_{n})_{n 0} musi być podmartyngałem, a dla jakich martyngałem?

Kartkówka 2 gr.4, 14 grudnia 2008

1. (M_{n}, F_{n})_{n 0} jest martyngałem takim, że EM_{n}^{2} < ∞. Dla jakich a, b, c, ciąg (aM_{n}^{2} + bM_{n} + c, F_{n})_{n 0} musi być martyngałem, a dla jakich nadmartyngałem?

2. Zmienne X_{i} są niezależne, P(X_{i} = 1) = P(X_{i} = −1) = 1/6, P(X_{i} = 0) = 2/3. Niech S_{n} = X_{1} + … + X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}).

a) Znajdź a takie, że (S_{n}^{2} − an, F_{n}) jest martyngałem.

b) Oblicz Eτ dla τ = inf{n: |S_{n}| = 5}.