Kartkówka 2 gr.1, 28 marca 2012

1. Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona z parametrem 5, a Y rozkład geometryczny z parametrem p (tzn. P(X = k) = p(1 − p)^{k} dla k = 0, 1, 2, …). Oblicz P(X = Y).

2. Wektor losowy (X, Y) ma rozkład z gęstością

g(x, y) = cx^{3}yI_{{0 y x 1}}

i) Wyznacz stałą c. ii) Znajdź rozkłady zmiennych X i \frac{1}{X+1} .

3* Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład jednostajny na zbiorze [0, 1]. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że dla nieskończenie wielu n, X_{n} > nX_{n+1} .

Kartkówka 2 gr.2, 28 marca 2012

1. Wektor losowy (X, Y) ma rozkład z gęstością

g(x, y) = cx^{4}yI_{{0 y x 1}}

i) Wyznacz stałą c. ii) Znajdź rozkłady zmiennych X i \frac{1}{X+2} .

2. Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona z parametrem 5, a Y rozkład geometryczny z parametrem p (tzn. P(Y = k) = p(1 − p)^{k} dla k = 1, 2, …). Oblicz P(Y = X + 1).

3* Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład jednostajny na zbiorze [0, 1]. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że dla nieskończenie wielu n, X_{n} > nX_{n+1} .