Kartkówka 1 gr.1, 27 października 2008

1. Zmienne X_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 2]. Czy wynika stąd zbieżność według rozkładu zmiennych X_{n}^{2}? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

2. Funkcja φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcja e^{−t^{2}/4} φ(2t) jest funkcją charakterystyczną? Jeśli tak, to jakiej zmiennej losowej?

Kartkówka 1 gr.2, 27 października 2008

1. Funkcja φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X. Czy funkcja e^{−t^{2}} φ(t/2) jest funkcją charakterystyczną? Jeśli tak, to jakiej zmiennej losowej?

2. Zmienne X_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1]. Czy wynika stąd zbieżność według rozkładu zmiennych X_{n}^{1/3}? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

1. Rodzina (X_{i})_{i∈I} jest ciasna. Czy wynika stąd, że ciasna jest również rodzina (X_{i}^{2} cos(X_{i}))_{i∈I} ? Odpowiedź uzasadnij.

2. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na [0, 2]. Czy ciąg n min{X_{1}, X_{2}, …, X_{n}} jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

Kartkówka 1 gr.2, 27 października 2008

1. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na [0, 3]. Czy ciąg n min{X_{1}, X_{2}, …, X_{n}} jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

2. Rodzina (X_{i})_{i∈I} jest ciasna. Czy wynika stąd, że ciasna jest również rodzina (X_{i}^{4} sin(X_{i}))_{i∈I} ? Odpowiedź uzasadnij.