KARTKÓWKA 3 grupa I , 5 grudnia 2000

1. Zmienne losowe Y, X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne przy czym Y ma rozkład geometryczny z parametrem \frac{1}{3} (tzn. P (Y = k) = \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{k−1}, k = 1, 2, …), a wszystkie X_{i} maja̧ rozkład N (0, 2). Znajdź funkcje charakterystyczna̧ zmiennej S = ∑_{n=1}^{Y} X_{n}.

2. Jan z Agata̧ regularnie grywaja̧ w pewna̧ grȩ. W pojedynczej grze z prawdopodobieństwem 0.5 wygrywa Jan, z prawdopodobieństwem 0.3 Agata, zaś z prawdopodobieństwem 0.2 gra siȩ kończy remisem. Zakładaja̧c niezależność wyników kolejnych gier, oszacuj prawdopodobieństwo, że w 900 grach Jan odniesie conajmniej 200 zwyciȩstw wiȩcej od Agaty.

KARTKÓWKA 3 grupa II 5 grudnia 2000

1. Jan z Agata̧ regularnie grywaja̧ w pewna̧ grȩ. W pojedynczej grze z prawdopodobieństwem 0.2 wygrywa Jan, z prawdopodobieństwem 0.6 Agata, zaś z prawdopodobieństwem 0.2 gra siȩ kończy remisem. Zakładaja̧c niezależność wyników kolejnych gier, oszacuj prawdopodobieństwo, że w 800 partiach Agata odniesie conajmniej 300 zwyciȩstw wiȩcej od Jana.

2. Zmienne losowe Y, X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne przy czym Y ma rozkład geometryczny z parametrem \frac{2}{3} (tzn. P (Y = k) = \frac{2}{3}(\frac{1}{3})^{k−1}, k = 1, 2, …), a wszystkie X_{i} maja̧ rozkład N (0, 4). Znajdź funkcje charakterystyczna̧ zmiennej S = ∑_{n=1}^{Y} X_{n}.

Krótkie Odpowiedzi

• grupa I:

1. φ_{S}(t) = E_{Y} E_{X}e^{it ∑_{n=1}^{Y} X_{n}} = E_{Y} (φ_{X_{1}}(t))^{Y} = ∑_{k=1}^{∞} pq^{k−1}(φ_{X_{1}}(t))^{k} = \frac{pφ_{X_{1}}(t)}{1 − qφ_{X_{1}}(t)}

= \frac{e^{−t^{2}}}{3 − 2e^{−t^{2}}} .

2. Przedstawiamy różnicȩ miȩdzy liczba̧ zwyciȩstw Jana i Agaty jako S = ∑_{n=1}^{900} X_{i}, gdzie EX_{i} = 0.2, D^{2}(X_{i}) = 0.76 sta̧d z Centralnego Twierdzenia Granicznego szacujemy szukane prawdopodobieństwo przez

P (S ≥ 200) ∼ 1 − Φ(\frac{2}{3\sqrt{0.76}}) ∼ 1 − Φ(0.76).

• grupa II: 1. Przedstawiamy różnicȩ miȩdzy liczba̧ zwyciȩstw Agaty i Jana jako S = ∑_{n=1}^{800} X_{i}, gdzie EX_{i} = 0.4, D^{2}(X_{i}) = 0.64 sta̧d z Centralnego Twierdzenia Granicznego szacujemy szukane prawdopodobieństwo przez

P (S ≥ 300) ∼ 1 − Φ(−\frac{5}{4\sqrt{2}}) ∼ 1 − Φ(−0.88) = Φ(0.88).

2. φ_{S}(t) = E_{Y} E_{X}e^{it ∑_{n=1}^{Y} X_{n}} = E_{Y} (φ_{X_{1}}(t))^{Y} = ∑_{k=1}^{∞} pq^{k−1}(φ_{X_{1}}(t))^{k} = \frac{pφ_{X_{1}}(t)}{1 − qφ_{X_{1}}(t)}

= \frac{2e^{−2t^{2}}}{3 − e^{−2t^{2}}} .