KARTKÓWKA 3 grupa I , 4 grudnia 2000

1. Zmienne X, Y sa̧ niezależne i maja̧ rozkład eksponencjalny z parametrem 2. Znajdź funkcje charakterystyczna̧ zmiennej 3X − 2Y.

2. W pewnych wyborach głosowało 10 milionów wyborców. Każdy wyborca głosował z prawdopodobieństwem 0.45 na kandydata B, z prawdopodobieństwem 0.45 na kandydata G, a z prawdopodobieństwem 0.1 na jednego z innych kandydatów. Zakładaja̧c, że wyborcy głosowali niezależnie oszacuj prawdopodobieństwo tego, że kandydat B uzyska o ponad 1000 głosów wiȩcej niż G.

KARTKÓWKA 3 grupa II 4 grudnia 2000

1. W pewnych wyborach głosowało 5 milionów wyborców. Każdy wyborca głosował z prawdopodobieństwem 0.4 na kandydata B, z prawdopodobieństwem 0.4 na kandydata G, a z prawdopodobieństwem 0.2 na jednego z innych kandydatów. Zakładaja̧c, że wyborcy głosowali niezależnie oszacuj prawdopodobieństwo tego, że kandydat B uzyskał o ponad 500 głosów wiȩcej niż G.

2. Zmienne X, Y sa̧ niezależne i maja̧ rozkład eksponencjalny z parametrem 5. Znajdź funkcje charakterystyczna̧ zmiennej 4X − Y.

Krótkie Odpowiedzi

• grupa I:

1.φ_{3X−2Y} (t) = φ_{X}(3t)φ_{Y} (−2t) = \frac{4}{(2−3it)(2+2it)}.

2. Przedstawiamy różnicȩ miȩdzy liczba̧ głosów oddanych na B i G jako S = ∑_{n=1}^{10^{7}} X_{i}, gdzie EX_{i} = 0, D^{2}(X_{i}) = 0.9, sta̧d z Centralnego Twierdzenia Granicznego szacujemy szukane prawdopodobieństwo P (S ≥ 1000) ∼ 1 − Φ(\frac{1}{3})

• grupa II: 1. Przedstawiamy różnicȩ miȩdzy liczba̧ głosów oddanych na B i G jako S = ∑_{n=1}^{5·10^{6}} X_{i}, gdzie EX_{i} = 0, D^{2}(X_{i}) = 0.8, sta̧d z Centralnego Twierdzenia Granicznego szacujemy szukane prawdopodobieństwo P (S ≥ 500) ∼ 1 − Φ(\frac{1}{4})

2.φ_{4X−Y} (t) = φ_{X}(4t)φ_{Y} (−t) = \frac{25}{(5−4it)(5+it)}.