KARTKÓWKA 2 grupa I , 21 listopada 2000

1. Dane sa̧ dwa cia̧gi liczb rzeczywistych (a_{n}) i (b_{n}) zbieżne odpowiednio do a i b. Czy dla dowolnej zmiennej losowej X, zmienne a_{n}X + b_{n} zbiegaja̧ do aX + b według rozkładu?

2. Zmienna losowa X ma gȩstość 2xI_{[0,1]}(x). Oblicz funkcjȩ charakterystyczna̧ X.

KARTKÓWKA 2 grupa II 21 listopada 2000

1. Zmienna losowa X ma gȩstość \frac{x}{2}I_{[0,2]}(x). Oblicz funkcjȩ charakterystyczna̧ X.

2. Cia̧g liczb rzeczywistych (a_{n}) zbiega do a. Czy wówczas dla dowolnej dodatniej zmiennej losowej X cia̧g zmiennych X^{a_{n}} jest zbieżny według rozkładu do X^{a}?

Krótkie Odpowiedzi

• grupa I: 1. Tak, bo jest zbieżny p.n.p. (można też sprawdzić zbieżność dystrybuant) 2.\frac{2}{it}e^{it} + \frac{2}{t^{2}} (e^{it} − 1) dla t ≠ 0 oraz 1 dla t = 0

• grupa II: 1. \frac{1}{it}e^{2it} + \frac{1}{2t^{2}} (e^{2it} − 1) dla t ≠ 0 oraz 1 dla t = 0

2. Tak, bo jest zbieżny p.n.p. (można też sprawdzić zbieżność dystrybuant)