KARTKÓWKA 2 grupa I , 20 listopada 2000

1. Niech μ_{α} bȩdzie rozkładem jednostajnym na [0, a_{α}]. Udowodnij, że rodzina (μ_{α}) jest jȩdrna wtedy i tylko wtedy gdy sup_{α} a_{α} < ∞.

2. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na [−1, 1]. Czy zmienne X^{n} sa̧ zbieżne według rozkładu? Jeśli tak to do jakiej granicy?

KARTKÓWKA 2 grupa II 20 listopada 2000

1. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na [0, 1]. Czy zmienne ^{n} \sqrt{X} sa̧ zbieżne według rozkładu? Jeśli tak to do jakiej granicy?

2. Niech μ_{α} bȩdzie rozkładem jednostajnym na [−a_{α}, a_{α}]. Udowodnij, że rodzina (μ_{α}) jest jȩdrna wtedy i tylko wtedy gdy sup_{α} a_{α} < ∞.

Krótkie Podpowiedzi

• grupa I: 1. Jeśli M = sup_{α} a_{α} to μ_{α}[−M, M] = 1, w druga̧ stronȩ - jeśli a_{α} > 2M to μ_{α}[−M, M] < \frac{1}{2}

2. sa̧ zbieżne p.n.p. a zatem i według rozkładu do stałej równej 0 (można też policzyć zbieżność dystrybuant).

• grupa II: 1. sa̧ zbieżne p.n.p. a zatem i według rozkładu do stałej równej 1 (można też policzyć zbieżność dystrybuant).

2. Jeśli M = sup_{α} a_{α} to μ_{α}[−M, M] = 1, w druga̧ stronȩ - jeśli a_{α} > 2M to μ_{α}[−M, M] < \frac{1}{2}.