KARTKÓWKA 1 grupa I , 31 października 2000

1. Zmienne losowe X, Y sa̧ niezależne i maja̧ rozkład eksponencjalny z

parametrem 1. Znaleźć

E(e^{−XY} |Y).

2. Niech T_{n} = \frac{X_{2}}{X_{1}} + \frac{X_{3}}{X_{2}} +…+ \frac{X_{n+1}}{X_{n}}, gdzie X_{1}, X_{2}, . . . ... niezależne zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym na przedziale [1, 3]. Oblicz

E(T_{n}|σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n})) oraz E(T_{n}|σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n−1})).

KARTKÓWKA 1 grupa II 31 października 2000

1. Niech T_{n} = \frac{X_{2}}{X_{1}^{2}} + \frac{X_{3}}{X_{2}^{2}} +…+ \frac{X_{n+1}}{X_{n}^{2}} , gdzie X_{1}, X_{2}, . . . ... niezależne zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym na przedziale [2, 6]. Oblicz

E(T_{n}|σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n})) oraz E(T_{n}|σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n−1})).

2. Zmienne losowe X, Y sa̧ niezależne i maja̧ rozkład eksponencjalny z

parametrem 1. Znaleźć

E(e^{−2XY} |X).

Krótkie Odpowiedzi

• grupa I: 1.\frac{1}{Y +1}. 2.T_{n−1} + \frac{2}{X_{n}} oraz T_{n−2} + \frac{2}{X_{n−1}} + 2 ln 3.

• grupa II: 1.T_{n−1} + \frac{4}{X_{n}^{2}} oraz T_{n−2} + \frac{4}{X_{n−1}^{2}} + \frac{1}{3}.

2. \frac{1}{2X+1}.