KARTKÓWKA 1 grupa I , 30 października 2000

1. Zmienne losowe X, Y sa̧ niezależne i maja̧ rozkład jednostajny na [2, 4].

Znaleźć

E(\frac{1}{X + Y} |X).

2. Niech T_{n} = X_{1}X_{2}+X_{2}X_{3}+…+X_{n}X_{n+1}, gdzie X_{1}, X_{2}, . . . ... niezależne zmienne losowe o rozkładzie normalnym ze średnia̧ 2 i wariancja̧ 5. Oblicz

E(T_{n}|σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n})) oraz E(T_{n}^{2}|σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n})).

KARTKÓWKA 1 grupa II 30 października 2000

1. Niech T_{n} = X_{1}X_{2}+X_{2}X_{3}+…+X_{n}X_{n+1}, gdzie X_{1}, X_{2}, . . . ... niezależne zmienne losowe o rozkładzie normalnym ze średnia̧ 1 i wariancja̧ 3. Oblicz

E(T_{n}|σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n})) oraz E(T_{n}^{2}|σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n})).

2. Zmienne losowe X, Y sa̧ niezależne i maja̧ rozkład jednostajny na [1, 3].

Znaleźć

E(\frac{1}{(X + Y)^{2}} |X).

Krótkie Odpowiedzi

• grupa I: 1.\frac{1}{2}(ln(X + 4) − ln(X + 2))

2. T_{n−1} + 2X_{n} oraz T_{n−1}^{2} + 4X_{n}T_{n} + 9X_{n}^{2}

• grupa II: 1. T_{n−1} + X_{n} oraz T_{n−1}^{2} + 2X_{n}T_{n} + 4X_{n}^{2}. 2.\frac{1}{2}(\frac{1}{X+1} − \frac{1}{X+3}).