Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa II

16 stycznia 2003

1. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i} = 0, EX_{i}^{2} = σ^{2}. Udowodnij, że dla dowolnej funkcji f : ℝ → ℝ różniczkowalnej w 0

\sqrt{n}(f(\frac{S_{n}}{n}) − f(0)) → N (0, σ^{2}(f′(0))^{2}) według rozkładu,

gdzie jak zwykle S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}.

2. Wykaż, że zmienne nieujemne X_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednostajnym na [0, 1] wtedy i tylko wtedy gdy zmienne − lnX_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1.

3. Zmienna losowa X ma funkcję charakterystyczną φ. Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej u

P(X = u) = lim_{a→∞} \frac{1}{2a} ∫_{−a}^{a} e^{−iut} φ(t)dt.

4. W urnie znajduje się 10 kul ponumerowanych cyframi od 0 do 9. Losujemy z urny po jednej kuli ze zwracaniem do momentu aż każda kula zostanie wylosowana przynajmniej jeden raz. Oblicz wartość oczekiwaną

a) liczby losowań

b) sumy cyfr na wylosowanych kulach.

5. Dany jest martyngał (X_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞} taki, że EX_{n}^{2} < ∞ dla wszystkich n. Połóżmy d_{n} = X_{n} − X_{n−1} dla n = 1, 2, … oraz dla ustalonego ciągu (a_{n})_{n=0}^{∞} zdefiniujmy

Y_{n} = a_{0}X_{0} + ∑_{k=1}^{n} a_{k}d_{k}, n = 0, 1, . . ..

Wykaż, że

a) (Y_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞} jest martyngałem

b) EY_{n}^{2} = a_{0}^{2}EX_{0}^{2} + ∑ _{k=1}^{n} a_{k}^{2}Ed_{k}^{2}.

c) Jeśli ciąg a_{n} jest ograniczony oraz martyngał X_{n} jest zbieżny w L^{2} to również Y_{n} jest zbieżny w L^{2}.

6. Rozpatrzmy łańcuch Markowa na zbiorze liczb całkowitych z macierzą przejścia P = (p_{xy}) daną wzorem

p_{0,k} = \frac{1}{3} dla k = −1, 0, 1,

p_{k,k−1} = q, p_{k,k+1} = p dla k −1,

p_{k,k−1} = p, p_{k,k+1} = q dla k 1,

gdzie q = 1 − p oraz p ∈ (0, 1). Wykaż, że łańcuch jest nieprzywiedlny i nieokresowy. Dla jakich wartości p, podany łańcuch jest powracalny?

7. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera, zaś F_{t} = σ(W_{s} : s t). Znajdź funkcję f : [0, ∞) → ℝ taką, że

(e^{iW_{t}+f(t)} , F_{t}) jest martyngałem.

Wszystkie zadania będą oceniane w skali 0-10, do otrzymania oceny bardzo dobrej wystarczy poprawne rozwiązanie 6 zadań.