Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa I* grupa I, 16 czerwca 2008

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązanie. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–8 pkt.

1. W turnieju siatkówki uczestniczy 8 drużyn, każda gra z każdą jedno spotkanie. Zakładając, że wyniki meczów są od siebie niezależne, nie ma remisów oraz prawdopodobieństwo zwycięstwa każdej z drużyn są jednakowe, oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby drużyn, które wygrają dokładnie 4 mecze.

2. Zmienne X i Y są niezależne o jednakowym rozkładzie z dystrybuantą F. Wykaż, że

E|X − Y | = 2 ∫_{−∞}^{∞} F (t)(1 − F (t))dt.

3. Dany jest ciąg (X_{n}) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na przedziale [1, 5]. Zbadaj zbieżność prawie na pewno ciągów n \sqrt{X_{1}X_{2} ⋯ X_{n}} oraz max\{X_{1}, X_{2}, …, X_{n}\}.

4. Niezależne zmienne losowe X i Y mają jednakowy rozkład z gęstością 3x^{−4} I_{[1,∞)} (x). Oblicz E((X +Y)^{2}|X), P(Y X|X) oraz E(X|(X +Y)^{2}).

5. Zmienne ε_{1}, ε_{2}, X, Y są niezależne przy czym P(ε_{i} = ±1) = 1/2 a X i Y mają rozkład wykładniczy z parametrem 2. Znajdź rozkład zmiennej ε_{1}X + ε_{2}Y.

6. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą na której orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Niech A_{n} oznacza zdarzenie, że w pierwszych n rzutach wypadło tyle samo orłów co reszek. Udowodnij, że

i) P(lim supA_{n}) = 0 dla p ≠ 1/2, ii) P(lim supA_{n}) = 1 dla p = 1/2.

Część testowa

1. (2pkt) Podaj definicję niezależności rodziny σ-ciał (F_{i})_{i∈I} .

2. (4pkt) Zmienne X_{i} są niezależne i mają jednakowy rozkład z gęstością g_{α} (x) = C_{α} \frac{ln^{α} (1+|x|)}{1+x^{2}} , gdzie α ∈ ℝ, a C_{α} jest pewną stałą. Wówczas

i) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → 0 p.n. wtedy i tylko wtedy gdy α ∈........ ii) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → 0 wg prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy α ∈........

3. (5pkt) Zmienne X_{1}, X_{2} są niezależne i mają rozkład normalny o średniej 1 i wariancji 5. Znajdź gęstość zmiennych losowych

i) Y = (X_{1} + 2X_{2})^{2}, g_{Y}(x) =............................

ii) Z = min{X_{1}, X_{2}}, g_{Z} (x) =............................

4. (4pkt) W szufladzie znajduje się 100 monet - 90 symetrycznych i 10 asymetrycznych na których orzeł wypada dwa razy częściej niż reszka. Z pudełka wylosowano monetę i rzucono nią 3 razy. Prawdopodobieństwo tego, że i) wypadła przynajmniej jedna reszka wynosi ................... ii) moneta jest sfałszowana, jeśli wypadły 3 orły wynosi ...............

5. (4pkt) Niezależne zmienne X i Y mają rozkład Poissona z parametrem 2. Oblicz

i) E5^{X−Y} =.............

ii) P(X + Y = 5) =................

iii) P(XY = 0) =.................

6. (5pkt) Kostką do gry rzucono 7 razy. Prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wyrzuconych oczek jest parzysty wynosi ......................, a tego, że wyrzucono wszystkie możliwe wartości oczek jest równy ............................... Wartość oczekiwana sumy wyrzuconych oczek jest równa ...................., a wariancja sumy oczek wynosi .............................

7. (3pkt) Stosując twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a można przybliżyć prawdopodobieństwo tego, że w 100 losowaniach totolotka (6 cyfr z 49) liczba 1 zostanie wylosowana więcej niż 10 razy przez Φ(x) z x =..................

8. (3pkt) Sformułuj twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach.

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa I* grupa II, 16 czerwca 2008

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązanie. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–8 pkt.

1. Zmienne ε_{1}, ε_{2}, X, Y są niezależne przy czym P(ε_{i} = ±1) = 1/2 a X i Y mają rozkład wykładniczy z parametrem 3. Znajdź rozkład zmiennej ε_{1}X + ε_{2}Y.

2. Dany jest ciąg (X_{n}) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na przedziale [2, 5]. Zbadaj zbieżność prawie na pewno ciągów n \sqrt{X_{1}X_{2} ⋯ X_{n}} oraz min\{X_{1}, X_{2}, …, X_{n}\}.

3. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą na której orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Niech A_{n} oznacza zdarzenie, że w pierwszych n rzutach wypadło tyle samo orłów co reszek. Udowodnij, że

i) P(lim supA_{n}) = 0 dla p ≠ 1/2, ii) P(lim supA_{n}) = 1 dla p = 1/2.

4. W turnieju siatkówki uczestniczy 8 drużyn, każda gra z każdą jedno spotkanie. Zakładając, że wyniki meczów są od siebie niezależne, nie ma remisów oraz prawdopodobieństwo zwycięstwa każdej z drużyn są jednakowe, oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby drużyn, które wygrają dokładnie 3 mecze.

5. Niezależne zmienne losowe X i Y mają jednakowy rozkład z gęstością 4x^{−5} I_{[1,∞)} (x). Oblicz E((X +Y)^{2}|X), P(Y X|X) oraz E(X|(X +Y)^{2}).

6. Zmienne X i Y są niezależne o jednakowym rozkładzie z dystrybuantą F. Wykaż, że

E|X − Y | = 2 ∫_{−∞}^{∞} F (t)(1 − F (t))dt.

Część testowa

1. (3pkt) Stosując twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a można przybliżyć prawdopodobieństwo tego, że w 150 losowaniach totolotka (6 cyfr z 49) liczba 1 zostanie wylosowana conajmniej 16 razy przez Φ(x) z x =..................

2. (4pkt) Niezależne zmienne X i Y mają rozkład Poissona z parametrem 3. Oblicz

i) E2^{X−Y} =.............

ii) P(X + Y = 7) =................

iii) P(XY = 0) =.................

3. (3pkt) Sformułuj twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach.

4. (4pkt) Zmienne X_{i} są niezależne i mają jednakowy rozkład z gęstością g_{α} (x) = C_{α} \frac{ln^{α} (1+|x|)}{1+x^{2}} , gdzie α ∈ ℝ, a C_{α} jest pewną stałą. Wówczas

i) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → 0 wg prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy α ∈........ ii) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → 0 p.n. wtedy i tylko wtedy gdy α ∈........

5. (5pkt) Kostką do gry rzucono 7 razy. Prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wyrzuconych oczek jest parzysty wynosi ......................, a tego, że wyrzucono wszystkie możliwe wartości oczek jest równy ............................... Wartość oczekiwana sumy wyrzuconych oczek jest równa ...................., a wariancja sumy oczek wynosi .............................

6. (5pkt) Zmienne X_{1}, X_{2} są niezależne i mają rozkład normalny o średniej -1 i wariancji 4. Znajdź gęstość zmiennych losowych

i) Y = (X_{1} − 2X_{2})^{2}, g_{Y}(x) =............................

ii) Z = min{X_{1}, X_{2}}, g_{Z} (x) =............................

7. (4pkt) W szufladzie znajduje się 100 monet - 90 symetrycznych i 10 asymetrycznych na których orzeł wypada trzy razy częściej niż reszka. Z pudełka wylosowano monetę i rzucono nią 3 razy. Prawdopodobieństwo tego, że i) wypadła przynajmniej jedna reszka wynosi ................... ii) moneta jest sfałszowana, jeśli wypadły 3 orły wynosi ...............

8. (2pkt) Podaj definicję niezależności rodziny σ-ciał (F_{i})_{i∈I} .