Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa

10 czerwca 2002

1. Klasę składającą się z 15 chłopców i 15 dziewczynek pogrupowano losowo w 15 par. Niech N oznacza liczbę par składających się z jednego chłopca i jednej dziewczynki. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej N.

2. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem λ. Oblicz E(X + Y |X), E((X + Y)^{2}|X) oraz E(X|X + Y).

3. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych X_{1}, X_{2}, … o jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [1, 2]. Udowodnij, że ciąg

\frac{1}{n}( \frac{X_{1}}{X_{2}} + \frac{X_{2}}{X_{3}} + … + \frac{X_{n}}{X_{n+1}} )

jest zbieżny prawie na pewno i znajdź jego granicę.

4. Z talii 52 kartowej wylosowano 13 kart. Jaka jest szansa, że wśród wylosowanych kart

a) są reprezentowane wszystkie 13 wartości,

b) jest więcej kart czarnych niż czerwonych,

c) są po 4 karty w pewnych trzech kolorach i jedna w pozostałym,

d) brakuje karty w conajmniej jednym z czterech kolorów?

5. Zmienne X i Y są niezależne o rozkładzie wykładniczym z parametrem 2. Znajdź rozkłady zmiennych losowych max(X, Y) i X − Y.

6. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie takimi, że E|X_{1}| < ∞. Udowodnij, że \frac{1}{n} max_{1 i n} |X_{i}| →^{P} 0 gdy n → ∞.

7. Zmienne losowe X, Y, Z są niezależne o rozkładzie N (0, 1). Dla jakich t ∈ ℝ

f(t) = Ee^{t(X+Y −2Z)^{2}} < ∞?

Oblicz f(t).

8. Wykaż, że dla dowolnych rzeczywistych zmiennych losowych X_{n}, X i Y_{n}, Y oraz funkcji ciągłej f : R^{2} → R, jeśli X_{n} →^{P} X i Y_{n} →^{P} Y to f(X_{n}, Y_{n}) →^{P} f(X, Y).

9. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą, prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w pojedynczej próbie wynosi p. Niech A_{n} oznacza zdarzenie, że w pierwszych n rzutach było tyle samo orłów co reszek. Wykaż, że

a) P(lim supA_{n}) = 0 dla p ≠ \frac{1}{2};

b) P(lim supA_{n}) = 1 dla p = \frac{1}{2}.

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10, do otrzymania oceny bardzo dobrej wystarczy poprawne rozwia̧zanie 7 zadań.