Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa II grupa I, 5 lutego 2014

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania na osobnych kartkach podpisanych imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy (grupa I) i zadania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–7 pkt. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Niech S_{n} będzie symetrycznym błądzeniem losowym startującym z 1.

i) Znajdź liczbę a > 0 taką, że M_{n} = a^{n}( e^{2S_{n}} + e^{−2S_{n}} ), n = 0, 1, 2, … jest martyngałem względem filtracji generowanej przez S_{n}. ii) Dla wartości a z punktu i) oblicz 𝔼a^{τ}, gdzie τ := inf{n: |S_{n}| = 5}.

2. Zmienne X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}, … są niezależne, przy czym ℙ(X_{n} = ±2) = \frac{1}{2}, zaś Y_{n} ma rozkład wykładniczy ze średnią n^{−1/2} . Dla liczby rzeczywistej t oblicz

lim_{n→∞} ℙ( ∑_{i=1}^{n} X_{i} \sqrt{Y_{i}} tn^{1/4} ) .

Uwaga. lim_{n→∞} n^{−1/2} ∑ _{k=1}^{n} k^{−1/2} = 2.

3. Dla ustalonej liczby p ∈ (0, 1) rozpatrzmy łańcuch Markowa (X_{n})_{n 0} o przestrzeni stanów E = ℤ i macierzy przejścia takiej, że p_{0,1} = p_{0,−1} = \frac{1}{2} oraz p_{k,k+1} = p_{−k,−k−1} = p, p_{k,k−1} = p_{−k,−k+1} = 1 − p dla k = 1, 2, . . .. Niech M_{n} = (\frac{1−p}{p} )^{|X_{n} |} oraz F_{n} = σ(X_{0}, …, X_{n}).

a) Wykaż, że (M_{n}, F_{n}) jest nadmartyngałem dla p \frac{1}{2} i podmartyngałem dla p \frac{1}{2}.

b) Wykaż, że M_{n} jest zbieżny prawie na pewno dla p > \frac{1}{2}. Ile wynosi jego granica?

4. Po wierzchołkach czworościanu ABCD porusza się pionek, w każdym ruchu z prawdopodobieństwem \frac{1}{3} przeskakując do jednego z sąsiadów. W chwili 0 pionek znajduje się w punkcie A. Oblicz

i) prawdopodobieństwo tego, że pionek wróci do punktu A przed dotarciem do punktu D, ii) średni czas oczekiwania na powrót pionka do punktu A, iii) przybliżone prawdopodobieństwo tego, że po 1000 krokach pionek będzie w punkcie A.

5. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne, symetryczne i mają wariancję 2. Określmy M_{n} = ∏ _{i=1}^{n} (1 + \frac{X_{i}}{i} ).

i) Znajdź filtrację dla której M_{n} jest martyngałem. ii) Czy z założeń wynika zbieżność M_{n} w L^{2}? iii) Czy z założeń wynika zbieżność M_{n} prawie na pewno?

6. Znajdź wszystkie zmienne losowe X takie, że jeśli Y jest zmienną N (0, 1) niezależną od X, to X + Y ma ten sam rozkład, co \frac{1}{2}X + 3Y + 1.

Obróć kartkę, by wypełnić część testową egzaminu!

Część testowa

1. (2pkt) Co to znaczy, że wektor losowy X = (X_{1}, …, X_{n}) ma rozkład gaussowski (podaj jedną z definicji)?

2. (2pkt) Podaj kryterium powracalności (w języku macierzy przejścia) jednorodnego, nieprzywiedlnego łańcucha Markowa.

3. (4pkt) Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 2. Oblicz warunkową wartość oczekiwaną 𝔼((X − 3Y)^{2}|X) = funkcję charakterystyczną φ_{X−3Y} (t) =

4. (2pkt) Podaj definicję jednostajnej całkowalności ciągu zmiennych losowych (X_{n})_{n 1} .

5. (3pkt) Zmienne losowe X_{n} spełniają warunek lim_{n→∞} 𝔼e^{itX_{n}} = \frac{5}{5−it} dla wszystkich t. Oblicz lim_{n→∞} ℙ(1 X_{n} 3) =

6. (3pkt) Niech X będzie zmienną losową. Wówczas rodzina zmiennych losowych (e^{tX} )_{t 0} jest ciasna wtedy i tylko wtedy, gdy

7. (3pkt) Uzupełnij sformułowania nierówności maksymalnych Dooba dla martyngału (M_{n})_{n 1} . i) Dla t > 0, tℙ(max_{n} |M_{n}| t) ii) Dla p > 1, 𝔼 max_{n} |M_{n}|^{p}

8. (3pkt) Zmienna losowa X ma skończone wszystkie momenty. Wyraź za pomocą funkcji charakterystycznej X następujące wielkości: 𝔼X = Var(X) = Var(X^{2}) =

9. (3pkt) Niech S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}, gdzie niezależne zmienne X_{n} mają rozkład jednostajny na [0, 4]. Wówczas zmienne losowe S_{n} − f(n), (S_{n} − g(n))^{2} − h(n) są martyngałami względem filtracji generowanej przez X_{n}, jeśli f(n) = .........., g(n) = .............. oraz h(n) = .....................

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa II grupa II, 5 lutego 2014

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania na osobnych kartkach podpisanych imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy (grupa II) i zadania. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–7 pkt. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Niech S_{n} będzie symetrycznym błądzeniem losowym startującym z 2.

i) Znajdź liczbę a > 0 taką, że M_{n} = a^{n}( e^{3S_{n}} + e^{−3S_{n}} ), n = 0, 1, 2, … jest martyngałem względem filtracji generowanej przez S_{n}. ii) Dla wartości a z punktu i) oblicz 𝔼a^{τ}, gdzie τ := inf{n: |S_{n}| = 4}.

2. Zmienne X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}, … są niezależne, przy czym ℙ(X_{n} = ±3) = \frac{1}{2}, zaś Y_{n} ma rozkład wykładniczy ze średnią n^{−1/2} . Dla liczby rzeczywistej t oblicz

lim_{n→∞} ℙ( ∑_{i=1}^{n} X_{i} \sqrt{Y_{i}} tn^{1/4} ) .

Uwaga. lim_{n→∞} n^{−1/2} ∑ _{k=1}^{n} k^{−1/2} = 2.

3. Dla ustalonej liczby p ∈ (0, 1) rozpatrzmy łańcuch Markowa (X_{n})_{n 0} o przestrzeni stanów E = ℤ i macierzy przejścia takiej, że p_{0,1} = p_{0,−1} = \frac{1}{2} oraz p_{k,k+1} = p_{−k,−k−1} = p, p_{k,k−1} = p_{−k,−k+1} = 1 − p dla k = 1, 2, . . .. Niech M_{n} = (\frac{1−p}{p} )^{|X_{n} |} oraz F_{n} = σ(X_{0}, …, X_{n}).

a) Wykaż, że (M_{n}, F_{n}) jest nadmartyngałem dla p \frac{1}{2} i podmartyngałem dla p \frac{1}{2}.

b) Wykaż, że M_{n} jest zbieżny prawie na pewno dla p > \frac{1}{2}. Ile wynosi jego granica?

4. Po wierzchołkach czworościanu ABCD porusza się pionek, w każdym ruchu z prawdopodobieństwem \frac{1}{3} przeskakując do jednego z sąsiadów. W chwili 0 pionek znajduje się w punkcie A. Oblicz

i) prawdopodobieństwo tego, że pionek wróci do punktu A przed dotarciem do punktu C, ii) średni czas oczekiwania na powrót pionka do punktu A, iii) przybliżone prawdopodobieństwo tego, że po 1000 krokach pionek będzie w punkcie A.

5. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne, symetryczne i mają wariancję 3. Określmy M_{n} = ∏ _{i=1}^{n} (1 + \frac{X_{i}}{i} ).

i) Znajdź filtrację dla której M_{n} jest martyngałem. ii) Czy z założeń wynika zbieżność M_{n} w L^{2}? iii) Czy z założeń wynika zbieżność M_{n} prawie na pewno?

6. Znajdź wszystkie zmienne losowe X takie, że jeśli Y jest zmienną N (0, 1) niezależną od X, to X + Y ma ten sam rozkład, co \frac{1}{3}X + 2Y − 1.

Obróć kartkę, by wypełnić część testową egzaminu!

1. (3pkt) Niech S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}, gdzie niezależne zmienne X_{n} mają rozkład jednostajny na [0, 2]. Wówczas zmienne losowe S_{n} − f(n), (S_{n} − g(n))^{2} − h(n) są martyngałami względem filtracji generowanej przez X_{n}, jeśli f(n) = .........., g(n) = .............. oraz h(n) = .....................

2. (2pkt) Podaj kryterium powracalności (w terminach macierzy przejścia) jednorodnego, nieprzywiedlnego łańcucha Markowa.

3. (3pkt) Zmienna losowa X ma skończone wszystkie momenty. Wyraź za pomocą funkcji charakterystycznej X następujące wielkości: 𝔼X = Var(X) = Var(X^{2}) =

4. (2pkt) Podaj definicję jednostajnej całkowalności ciągu zmiennych losowych (X_{n})_{n 1} .

5. (3pkt) Niech X będzie zmienną losową. Wówczas rodzina zmiennych losowych (e^{tX} )_{t 0} jest ciasna wtedy i tylko wtedy, gdy

6. (4pkt) Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 3. Oblicz warunkową wartość oczekiwaną 𝔼((X + 2Y)^{2}|X) = funkcję charakterystyczną φ_{X+2Y} (t) =

7. (3pkt) Zmienne losowe X_{n} spełniają warunek lim_{n→∞} 𝔼e^{itX_{n}} = \frac{3}{3−it} dla wszystkich t. Oblicz lim_{n→∞} ℙ(1 X_{n} 5) =

8. (3pkt) Uzupełnij sformułowania nierówności maksymalnych Dooba dla martyngału (M_{n})_{n 1} . i) Dla t > 0, tℙ(max_{n} |M_{n}| t) ii) Dla p > 1, 𝔼 max_{n} |M_{n}|^{p}

9. (2pkt) Co to znaczy, że wektor losowy X = (X_{1}, …, X_{n}) ma rozkład gaussowski (podaj jedną z definicji)?