Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa II* 9 lutego 2006

Część zadaniowa

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-7.

1. Po wierzchołkach 2n-kąta foremnego A_{1}A_{2} …A_{2n} porusza się pionek. W chwili początkowej znajduje się w punkcie A_{1}, a w kolejnych krokach z prawdopodobieństwem 1/2 zmienia (w sposób niezależny od poprzednich ruchów) wierzchołek na jeden z sąsiednich. Oblicz

a) prawdopodobieństwo, że pionek dotrze do A_{n} przed dotarciem do A_{n+1} ;

b) wartość oczekiwaną liczby kroków do momentu powrotu do A_{1}.

2. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne, przy czym X_{n} ma rozkład jednostajny na [0, n^{2}]. Niech S_{n} := X_{1} + … + X_{n}, a_{n} := ES_{n}, σ_{n}^{2} := Var(S_{n}). Czy ciąg zmiennych losowych \frac{S_{n} −a_{n}}{σ_{n}} jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

3. Niech Z_{1} = (X_{1}, Y_{1}), Z_{2} = (X_{2}, Y_{2}), … będą niezależnymi wektorami losowymi o standardowym rozkładzie gaussowskim na ℝ^{2}. Określmy

τ := inf{n: Z_{n} leży w górnej półpłaszczyźnie}.

Znajdź funkcję charakterystyczną zmiennej losowej S = ∑ _{j=1}^{τ} X_{j}.

4. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne, przy czym zmienna X_{n} ma rozkład dwumianowy Bin(n, \frac{1}{n}), n = 1, 2, . . .. Określmy ciąg zmiennych Y_{n} wzorem Y_{n} = X_{1}X_{2} …X_{n}, n = 1, 2, . . ..

(a) Wykaż, że ciąg Y_{n} jest martyngałem względem filtracji F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) i że ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno.

(b) Czy Y_{n} zbieżny w L^{1}?

5. Rozpatrzmy łańcuch Markowa na zbiorze liczb całkowitych z macierzą przejścia P = (p_{xy}) daną wzorem

p_{0,k} = \frac{1}{3} dla k = −1, 0, 1,

p_{k,k−1} = q, p_{k,k+1} = p dla k −1,
p_{k,k−1} = p, p_{k,k+1} = q dla k 1,

gdzie q = 1 − p oraz p ∈ (0, 1). Wykaż, że łańcuch jest nieprzywiedlny i nieokresowy. Dla jakich wartości p, łańcuch ten jest powracalny?

6. Niech (W_{t})_{t 0} będzie procesem Wienera, zaś F_{t} = σ(W_{s} : s t). Znajdź funkcję f : [0, ∞) → ℝ taką, że

(e^{iW_{t}+f(t)} , F_{t}) jest martyngałem.

Część testowa

W poniższych zadaniach φ_{X} oznacza funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X.

1. (3pkt) Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 2. Znajdź funkcję charakterystyczną φ_{X−2Y} (t) =

2. (2pkt) τ jest momentem zatrzymania względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Podaj definicję σciała F_{τ}

3. (3pkt) Które z następujących warunków implikują ciasność ciągu rozkładów (μ_{X_{n}} )_{n 1} (podkreśl właściwe odpowiedzi): sup_{n} E|X_{n}| < ∞; jednostajna całkowalność X_{n}; zbieżność X_{n} według rozkładu; punktowa zbieżność φ_{X_{n}} ?

4. (3pkt) Zmienne nieujemne X_{n} zbiegają według rozkładu do zmiennej X. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): lim_{n→∞} P(X_{n} 1) = P(X 1); lim_{n→∞} EX_{n} = EX; lim_{n→∞} Ee^{−X_{n}} = Ee^{−X} ; zmienna X jest nieujemna.

5. (4pkt) Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład jednostajny na [0, 3], S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} oraz F_{n} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) dla n = 1, 2, . . .. Wówczas (S_{n}^{2} + aS_{n} + b, F_{n})_{n=1}^{∞} jest martyngałem, jeśli a = , b = .

6. (5pkt) Kostką sześcienną rzucamy dopóki nie wyrzucimy wszystkich nieparzystych oczek. Niech N oznacza liczbę rzutów, a S sumę wyrzuconych oczek. Wówczas EN = ES = .

7. (3pkt) Które z następujących warunków implikują zbieżność prawie na pewno martyngału (X_{n}, F_{n})_{n=0}^{∞} ) (podkreśl właściwe odpowiedzi): nieujemność X_{n}, sup_{n} E|X_{n}| < ∞, sup_{n} EX_{n} < ∞, zbieżność X_{n} w L^{2}.

8. (2pkt) Podaj jedną z definicji jednostajnej całkowalności rodziny zmiennych losowych (X_{i})_{i∈I} .

9. (3pkt) Symetryczne błądzenie losowe na prostej jest (podkreśl poprawne odpowiedzi) powracalne, nieokresowe, ma rozkład stacjonarny, w każdym stanie przebywa prawie na pewno nieskończenie wiele razy.

10. (4pkt) Pewien jednorodny łańcuch Markowa z dwuelementową przestrzenią stanów ma

macierz przejścia A = ( \frac{1}{5} a_{\frac{1}{4} \frac{3}{4}} ) . Wówczas a = , macierz przejścia w dwu krokach

tego łańcucha wynosi ( ) , zaś rozkład stacjonarny π = ( , ).

11. (3pkt) Podaj kryterium powracalności jednorodnego, nieprzywiedlnego łańcucha Markowa.