Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa II* 5 lutego 2013

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać cztery i napisać ich pełne rozwiązania na osobnych kartkach podpisanych imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i zadania.. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–10 pkt. Można (i należy) wykorzystywać fakty udowodnione na wykładzie i ćwiczeniach.

1. Zmienne X_{n} i Y_{n} są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 5n.

a) Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu n^{−5/2} (X_{n}^{3} − Y_{n}^{3}).

b) Wyznacz wszystkie ciągi a_{n} takie, że (a_{n}X_{n})_{n 1} jest ciasny.

2. Niech (p_{n})_{n=0}^{∞} będzie ciągiem liczb z przedziału (0, 1). Rozważmy łańcuch Markowa (X_{n})_{n=1}^{∞} o przestrzeni stanów E = {0, 1, 2, …} i macierzy przejścia danej wzorami p_{n,0} = p_{n}, p_{n,n+1} = 1 − p_{n} dla n = 0, 1, 2, . . ..

a) Czy jest to łańcuch nieprzywiedlny? Czy jest on okresowy?

b) Dla jakich ciągów (p_{n}) łańcuch (X_{n}) jest powracający?

c) Załóżmy, że p_{n} = \frac{1}{2} dla wszystkich n. Oblicz dla k, l ∈ E,

lim_{n→∞} ℙ(X_{n} = k|X_{0} = l)

3. Rzucamy monetą dopóki nie wypadną 2 orły pod rząd. Oblicz a) prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy w sumie parzystą liczbę orłów,

b) wartość oczekiwaną liczby oddanych rzutów,

c) wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych orłów.

4. Ciąg (M_{n}, F_{n})_{n 0} jest martyngałem o wyrazach całkowitych takim, że M_{0} = 1, |M_{n+1} − M_{n}| 1 dla n = 0, 1, 2 … oraz lim supM_{n} = ∞ p.n.. Określmy

τ := inf{n 0: M_{n} = 10} oraz σ := inf{n 0: |M_{n}| = 10}.

a) Oblicz ℙ(τ = σ).

b) Wykaż, że jeśli N_{n} = M_{n} dla n τ i N_{n} = 20−M_{n} dla n τ, to N_{n} też jest martyngałem względem F_{n}.

5. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład jednostajny na [−1, 1]. Określmy S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} i τ := inf{n 1: X_{n} 0}. Oblicz

a) 𝔼τ i 𝔼S_{τ},

b) funkcję charakterystyczną zmiennej S_{τ}.

Część testowa

1. (4pkt) Niech X_{n} będzie łańcuchem Markowa o przestrzeni stanów {1, 2, 3} i macierzy przej-

ścia P = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix} ) , zaś π będzie rozkładem stacjonarnym dla tego łańcucha. Oblicz

ℙ(X_{2} = X_{1}|X_{0} = 1)= (π({1}), π({2}), π({3})) = 2. (3pkt) Sformułuj twierdzenie o zbieżności martyngałów w L_{2}.

3. (4pkt) Zmienne X_{n} są niezależne i zbiegają według rozkładu do rozkładu normalnego N (1, 1). Oblicz

i) lim_{n→∞} ℙ(X_{n} 0) = ii) lim_{n→∞} ℙ(X_{n} + X_{n+1} 0) = iii) lim_{n→∞} φ_{2X_{n} −X_{n+1}} (t) =

4. (3pkt) Załóżmy, że S_{n} = X_{1} + X_{2} + …+ X_{n}, gdzie X_{n} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1. Wówczas ciąg e^{na−S_{n}} jest nadmartyngałem względem filtracji generowanej przez zmienne X_{n} wtedy i tylko wtedy, gdy

5. (4pkt) Zmienna losowa X ma skończone wszystkie momenty. Wyraź za pomocą funkcji charakterystycznej X następujące wielkości: 𝔼X =..... Var(X) =...... Var(X^{2}) =.....

6. (3pkt) Co to znaczy, że wektor losowy X = (X_{1}, …, X_{n}) ma rozkład gaussowski (podaj jedną z definicji)?

7. (3pkt) Podaj definicję momentu zatrzymania τ względem filtracji F_{n} i sigma-ciała F_{τ}.

8. (3pkt) Które z następujących warunków implikują jednostajną całkowalność zmiennych X_{n} (podkreśl właściwe odpowiedzi): ciasność ciągu rozkładów μ_{X_{n}} ; zbieżność X_{n} prawie na pewno; zbieżność X_{n} w L^{1}; 𝔼 sup_{n} |X_{n}| < ∞.

9. (3pkt) Sformułuj Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy’ego.