Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa II* grupa I, 31 stycznia 2009

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązanie. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–8 pkt.

1. Zmienne losowe X_{n} spełniają warunek sup_{n} Ee^{|X_{n} |} < ∞. Wykaż, że X_{n} zbiega według rozkładu do X wtedy i tylko wtedy gdy lim_{n→∞} EX_{n}^{k} = EX^{k} dla k = 0, 1, 2 . . ..

2. Rzucamy kostką dopóki nie wypadną 3 szóstki pod rząd. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów i sumy wyrzuconych oczek.

3. Niech Y_{n} = X_{1}X_{2} ⋯ X_{n}, gdzie X_{n} są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz X_{n} ma rozkład Poissona z parametrem n^{2}.

a) Znajdź taki niezerowy ciąg (a_{n}), że (a_{n}Y_{n})_{n 1} jest martyngałem względem sigma ciała generowanego przez (X_{n}).

b) Czy martyngał z punktu a) jest zbieżny prawie na pewno?

c) Czy jest zbieżny w L^{1}?

4. Zmienne X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}, … są niezależne i mają rozkład jednostajny na [−1, 1]. Czy ciąg

T_{n} = \frac{∑ _{k=1}^{n} X_{k}Y_{k}}{\sqrt{∑ _{k=1}^{n} Y_{k}^{2}}}

jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

5. Niech

φ(t) = \{ \begin{matrix}1 & dla t = 0 \\ \frac{1−e^{−20t^{2}}}{20(1−e^{−t^{2}} )} & dla t ≠ 0 \end{matrix}

Wykaż, że istnieje zmienna losowa X taka, że φ = φ_{X}. Znajdź rozkład X.

6. Dany ustalonej liczby p ∈ (0, 1) rozpatrzmy łańcuch Markowa o przestrzeni stanów E = ℤ i macierzy przejścia takiej, że p_{0,1} = p_{0,−1} = 1/2 oraz p_{k,k+1} = p_{−k,−k−1} = p, p_{k,k−1} = p_{−k,−k+1} = 1 − p dla k = 1, 2, . . .. Zbadaj powracalność tego łańcucha Markowa.

Część testowa

1. (3pkt) Sformułuj Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy’ego.

2. (2pkt) Uzupełnij stwierdzenie: Zmienne X_{n} mają rozkład jednostajny na [a_{n}, b_{n}]. Wówczas ciąg X_{n} jest ciasny wtedy i tylko wtedy gdy .............

3. (3pkt) Niech X_{n} = E(X|F_{n}), gdzie X jest pewną zmienną o rozkładzie N (0, 1) a (F_{n})_{n 0} pewną filtracją. Wynika stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): Ciąg X_{n} zbiega do X w L^{1}, ciąg X_{n} jest zbieżny prawie na pewno, ciąg X_{n} jest zbieżny według rozkładu, ciąg (X_{n}^{2}) jest jednostajnie całkowalny.

4. (4pkt) Podaj wybrane dwie równoważne definicje wielowymiarowej zmiennej gaussowskiej.

5. (4pkt) (W_{t})_{t 0} jest procesem Wienera. Wówczas dla 0 < s < t E(W_{t}W_{s}) =.................. E(W_{t}^{2}W_{s}^{2}) =............ Ee^{5i(W_{t}−W_{s} )} =..........

6. (4pkt) Zmienna losowa X ma skończone wszystkie momenty. Wyraź za pomocą funkcji charakterystycznej X następujące wielkości: EX =..... Var(X) =...... Var(X^{2}) =.....

7. (4pkt) Niech X_{n} będzie łańcuchem Markowa o przestrzeni stanów {1, 2} i macierzy przejścia

P = ( \begin{matrix}\frac{2}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{1}{7} & \frac{6}{7} \end{matrix} ) . Oblicz

P(X_{2} = X_{1}|X_{0} = 1)=...... lim_{n→∞} P^{n} =.............

8. (3pkt) (M_{n}, F_{n})_{n 0} jest nieujemnym martyngałem takim, że M_{0} = 1, a τ skończonym momentem zatrzymania. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): EM_{τ} = 1, EM_{τ∧100} = 1, EM_{τ}^{2} 1, E\sqrt{M_{τ}} 1.

9. (3pkt) Podaj definicję momentu zatrzymania τ względem filtracji F_{n} oraz sigma ciała F_{τ}.

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa II* grupa II, 31 stycznia 2009

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązanie. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–8 pkt.

1. Niech Y_{n} = X_{1}X_{2} ⋯ X_{n}, gdzie X_{n} są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz X_{n} ma rozkład Poissona z parametrem n^{3}.

a) Znajdź taki niezerowy ciąg (a_{n}), że (a_{n}Y_{n})_{n 1} jest martyngałem względem sigma ciała generowanego przez (X_{n}).

b) Czy martyngał z punktu a) jest zbieżny prawie na pewno?

c) Czy jest zbieżny w L^{1}?

2. Niech

φ(t) = \{ \begin{matrix}1 & dla t = 0 \\ \frac{1−e^{−20t^{2}}}{10(1−e^{−2t^{2}} )} & dla t ≠ 0 \end{matrix}

Wykaż, że istnieje zmienna losowa X taka, że φ = φ_{X}. Znajdź rozkład X.

3. Dany ustalonej liczby p ∈ (0, 1) rozpatrzmy łańcuch Markowa o przestrzeni stanów E = ℤ i macierzy przejścia takiej, że p_{0,1} = p_{0,−1} = 1/2 oraz p_{k,k+1} = p_{−k,−k−1} = p, p_{k,k−1} = p_{−k,−k+1} = 1 − p dla k = 1, 2, . . .. Zbadaj powracalność tego łańcucha Markowa.

4. Rzucamy kostką dopóki nie wypadną 3 jedynki pod rząd. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów i sumy wyrzuconych oczek.

5. Zmienne X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}, … są niezależne i mają rozkład jednostajny na [−2, 2]. Czy ciąg

T_{n} = \frac{∑ _{k=1}^{n} X_{k}Y_{k}}{\sqrt{∑ _{k=1}^{n} Y_{k}^{2}}}

jest zbieżny według rozkładu? Jeśli tak, to do jakiej granicy?

6. Zmienne losowe X_{n} spełniają warunek sup_{n} Ee^{|X_{n} |} < ∞. Wykaż, że X_{n} zbiega według rozkładu do X wtedy i tylko wtedy gdy lim_{n→∞} EX_{n}^{k} = EX^{k} dla k = 0, 1, 2 . . ..

Część testowa

1. (3pkt) Podaj definicję momentu zatrzymania τ względem filtracji F_{n} oraz sigma ciała F_{τ}.

2. (4pkt) (W_{t})_{t 0} jest procesem Wienera. Wówczas dla 0 < s < t Ee^{3i(W_{t}−W_{s} )} =.......... E(W_{t}W_{s}) =.................. E(W_{t}^{2}W_{s}^{2}) =............

3. (3pkt) Sformułuj Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy’ego.

4. (3pkt) (M_{n}, F_{n})_{n 0} jest nieujemnym martyngałem takim, że M_{0} = 1, a τ skończonym momentem zatrzymania. Wynika stąd, że (podkreśl właściwe odpowiedzi): EM_{τ}^{2} 1, EM_{τ} = 1, EM_{τ∧100} = 1, E\sqrt{M_{τ}} 1.

5. (2pkt) Uzupełnij stwierdzenie: Zmienne X_{n} mają rozkład jednostajny na [a_{n}, b_{n}]. Wówczas ciąg X_{n} jest ciasny wtedy i tylko wtedy gdy .............

6. (3pkt) Niech X_{n} = E(X|F_{n}), gdzie X jest pewną zmienną o rozkładzie N (0, 1) a (F_{n})_{n 0} pewną filtracją. Wynika stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): Ciąg X_{n} jest zbieżny w L^{1}, ciąg X_{n} jest zbieżny prawie na pewno do X, ciąg X_{n} jest zbieżny według rozkładu, ciąg (X_{n}^{2}) jest jednostajnie całkowalny.

7. (4pkt) Zmienna losowa X ma skończone wszystkie momenty. Wyraź za pomocą funkcji charakterystycznej X następujące wielkości: EX =..... Var(X) =...... Var(X^{2}) =.....

8. (4pkt) Niech X_{n} będzie łańcuchem Markowa o przestrzeni stanów {1, 2} i macierzy przejścia

P = ( \begin{matrix}\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{2}{7} & \frac{5}{7} \end{matrix} ) . Oblicz

P(X_{2} = X_{1}|X_{0} = 1)=...... lim_{n→∞} P^{n} =.............

9. (4pkt) Podaj wybrane dwie równoważne definicje wielowymiarowej zmiennej gaussowskiej.