Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa I* grupa I, 4 czerwca 2005

Część zadaniowa

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-7.

1. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 4. Oblicz E((X + Y)^{2}|X) oraz E(X|(X + Y)^{2}).

2. Udowodnij, że jeśli X_{n} →^{P} X, Y_{n} →^{P} Y, to dla dowolnej funkcji ciągłej f: ℝ^{2} → ℝ,

f(X_{n}, Y_{n}) →^{P} f(X, Y).

3. Załóżmy, że X_{0}, X_{1}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi, a R jest promieniem zbieżności losowego szeregu potęgowego ∑ _{n=0}^{∞} X_{n}z^{n}. Wykaż, że istnieje r ∈ [0, ∞] takie, że P(R = r) = 1.

4. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 2. Znajdź rozkład zmiennej X + 2Y.

5. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych X_{1}, X_{2}, … o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 2]. Czy zmienne \sqrt[n]{X_{1}X_{2} ⋯ X_{n}} są zbieżne prawie na pewno? Jeśli tak, to znajdź ich granicę.

6. Niezależne zmienne losowe X i Y mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Znajdź gęstość zmiennych \frac{|X|}{|Y |} i \frac{X}{Y} .

Część testowa

1. (2pkt) Podaj definicję lim inf A_{n} =

2. (3pkt) Zmienne losowa X ma dystrybuantę F. Oblicz P(X = a) = P(a X b) =

3. (4pkt) Zmienna X ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją 5. Znajdź gęstość zmiennej Y = \sqrt{|X|}, g_{Y}(x) =

4. (4pkt) Niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkład Poissona z parametrem 1. Oblicz P(X > 0, Y > 0) = P(X + Y = 15) = Var(2X + 3Y) =.

5. (4pkt) W pewnej skarbonce jest 100 monet - 99 normalnych i 1 sfałszowana mająca po obu stronach orły. Ze skarbonki wylosowano monetę i rzucono nią 5 razy za każdym razem wyrzucając orła. Prawdopodobieństwo, że wylosowana moneta jest sfałszowana wynosi .......................

6. (3pkt) Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają jednakowy rozkład, zaś S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}. Który z poniższych warunków implikuje E|X_{1}| < ∞? (podkreśl prawidłowe odpowiedzi) \frac{S_{n}}{n} → 0 p.n.; \frac{S_{n}}{n} → 0 według prawdopodobieństwa; lim sup_{n→∞} \frac{S_{n}}{n} < ∞ p.n.; lim sup_{n→∞} \frac{|S_{n} |}{n} < ∞ p.n.

7. (3pkt) Zmienne losowe X i Y są niezależne, symetryczne i ograniczone. Wynika stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): EXY = 0; E|X + Y | E|X|; E(XY |G) = E(X|G)E(Y |G) dla dowolnego sigma ciała G; P(X > 1|Y) = P(X > 1) p.n.

8. (4pkt) Uzupełnij tekst: 10 jednakowych cukierków można podzielić między 4 chłopców na ..................... sposobów. Prawdopodobieństwo, że przy losowym podziale pierwszy z chłopców nie dostanie żadnego cukierka wynosi .......................... Przy losowym podziale pierwszy z chłopców dostanie średnio ................... cuk.

9. (4pkt) Niech X = P(A|G) oraz B ∈ G. Wówczas EX =............., EX1_{B} = ........... oraz P(A ∩ B|G) = ..............

10. (4pkt) Sformułuj obie części Lematu Borella-Cantelliego.

Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa I* grupa II, 4 czerwca 2005

Część zadaniowa

Spośród poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązania. Każde z zadań będzie oceniane w skali 0-7.

1. Niezależne zmienne losowe X i Y mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Znajdź gęstość zmiennych \frac{|X|}{|Y |} i \frac{X}{Y} .

2. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 4. Znajdź rozkład zmiennej 2X + Y.

3. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych X_{1}, X_{2}, … o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 5]. Czy zmienne \sqrt[n]{X_{1}X_{2} ⋯ X_{n}} są zbieżne prawie na pewno? Jeśli tak, to znajdź ich granicę.

4. Załóżmy, że X_{0}, X_{1}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi, a R jest promieniem zbieżności losowego szeregu potęgowego ∑ _{n=0}^{∞} X_{n}z^{n}. Wykaż, że istnieje r ∈ [0, ∞] takie, że P(R = r) = 1.

5. Zmienne X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 3. Oblicz E((X + Y)^{2}|X) oraz E(X|(X + Y)^{2}).

6. Udowodnij, że jeśli X_{n} →^{P} X, Y_{n} →^{P} Y, to dla dowolnej funkcji ciągłej f: ℝ^{2} → ℝ,

f(X_{n}, Y_{n}) →^{P} f(X, Y).

Część testowa

1. (4pkt) Uzupełnij tekst: 9 jednakowych cukierków można podzielić między 4 chłopców na ..................... sposobów. Prawdopodobieństwo, że przy losowym podziale pierwszy z chłopców nie dostanie żadnego cukierka wynosi .......................... Przy losowym podziale pierwszy z chłopców dostanie średnio ................... cuk.

2. (4pkt) Niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkład Poissona z parametrem 2. Oblicz Var(X + 4Y) = P(X > 0, Y > 0) = P(X + Y = 8) =.

3. (3pkt) Zmienne losowe X i Y są niezależne, symetryczne i ograniczone. Wynika stąd, że (podkreśl prawidłowe odpowiedzi): P(X > 1|Y) = P(X > 1) p.n.; EXY = 0; E(XY |G) = E(X|G)E(Y |G) dla dowolnego sigma ciała G; E|X + Y | E|X|.

4. (4pkt) Zmienna X ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją 3. Znajdź gęstość zmiennej Y = \sqrt{|X|}, g_{Y}(x) = 5. (3pkt) Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają jednakowy rozkład, zaś S_{n} = X_{1} +

X_{2} + … + X_{n}. Który z poniższych warunków implikuje E|X_{1}| < ∞? (podkreśl prawidłowe odpowiedzi) lim sup_{n→∞} \frac{|S_{n} |}{n} < ∞ p.n.; lim sup_{n→∞} \frac{S_{n}}{n} < ∞ p.n. \frac{S_{n}}{n} → 0 p.n.; \frac{S_{n}}{n} → 0 według prawdopodobieństwa.

6. (2pkt) Podaj definicję lim supA_{n} =

7. (4pkt) W pewnej skarbonce jest 50 monet - 49 normalnych i 1 sfałszowana mająca po obu stronach orły. Ze skarbonki wylosowano monetę i rzucono nią 6 razy za każdym razem wyrzucając orła. Prawdopodobieństwo, że wylosowana moneta jest sfałszowana wynosi .......................

8. (4pkt) Niech X = P(A|G) oraz B ∈ G. Wówczas EX =.........., EX1_{B} = ........... oraz P(A ∩ B|G) = ..............

9. (3pkt) Zmienne losowa X ma dystrybuantę F. Oblicz P(X = a) = P(a < X < b) =

10. (4pkt) Sformułuj obie części Lematu Borella-Cantelliego.