Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa I* grupa I, 21 czerwca 2012

Część zadaniowa

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązanie na osobnej kartce podpisanej imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy i zadania.. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–8 pkt.

1. Każdą z krawędzi grafu pełnego o 40 wierzchołkach pomalowano z równym prawdopodobieństwem jednym z trzech kolorów. Zakładając, że krawędzie zostały pomalowane w sposób niezależny, oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby zawartych w pomalowanym grafie trójkątów o trzech bokach różnego koloru.

2. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 1. Zbadaj zbieżność prawie na pewno następujących zmiennych losowych:

i) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{X_{1}^{2} +X_{2}^{2} +...+X_{n}^{2}} , ii) min{X_{1}, X_{2}, …, X_{n}}, iii) X_{n}^{1/n} .

3. Zmienne X, Y, Z są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [1, 5]. Oblicz 𝔼((X + Y)^{2}|Z), 𝔼((X + Y)^{2}|X), ℙ(X Y |X) oraz 𝔼(X + Z|(X + Y)^{2}).

4. Zmienne ε, X i Y są niezależne, przy czym ℙ(ε = ±1) = 1/2, zaś X i Y mają rozkład jednostajny na [0, 3]. Znajdź rozkład zmiennych ^{3} \sqrt{X}, ε ^{3} \sqrt{X} oraz ^{3} \sqrt{X} + ^{3} \sqrt{Y}.

5. Zmienne X, Y są niezależne i mają standardowy rozkład gaussowski N (0, 1). Wykaż, że zmienne X^{2} + Y^{2} oraz |X|/|Y | są niezależne.

6. W urnie znajduje się 6 kul białych i 5 czerwonych. Losujemy z urny kolejno po jednej kuli, a następnie po i-tym losowaniu zwracamy do urny wylosowaną kulę oraz i kul w tym samym kolorze.

a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że n-ta wylosowana kula będzie biała.

b) Za czwartym razem wylosowaliśmy kulę białą, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pierwsza wylosowana kula była czerwona?

Część testowa

1. (5pkt) (N_{t})_{t 0} jest procesem Poissona z intensywnością λ. Oblicz i) ℙ(2 N_{1} < N_{2} = N_{4}) = ii) Var(2N_{2} + 3N_{3}) = iii) 𝔼e^{N_{1} +N_{3} −N_{2}} =

2. (3pkt) Podaj definicję λ-układu i sformułuj twierdzenie o π i λ-układach.

3. (4pkt) Zmienne X_{i} są niezależne oraz mają gęstość g_{α} (x) = C_{α} \frac{ln^{α} (1+|x|)}{1+|x|^{2}} , gdzie C_{α} jest pewną stałą. Wówczas

a) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → 0 według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈..........

b) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → 0 p.n. wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈..........

4. (4pkt) Zmienne X, Y, Z są niezależne i mają rozkład normalny o średniej 1 i wariancji 2. Wówczas

a) Zmienna 2X − Y + 3Z ma gęstość .....

b) 𝔼(2X + Y − 3Z)^{3} = ........, 𝔼(2X + Y − 3Z)^{4} = .......

5. (2pkt) Podaj definicję warunkowej wartości oczekiwanej 𝔼(X|G).

6. (3pkt) Na mocy twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a przybliżone prawdopodobieństwo tego, że w 200 rzutach kostką wypadnie co najmniej 30 szóstek wynosi Φ(x) gdzie x = ....

7. (3pkt) Niech π będzie losową permutacją zbioru {1, …, 20}. Oblicz a) ℙ(π nie ma punktu stałego) =

b) ℙ(π(1) < π(7) < π(9)) =.

8. (3pkt) Nieujemna zmienna losowa X ma dystrybuantę F. Wówczas a) ℙ(X = 1) =

b) ℙ(1 < X < 2) =

c) 𝔼X =

9. (3pkt) Sformułuj twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach.

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa I* grupa II, 21 czerwca 2012

Spośród poniższych zadań należy wybrać pięć i napisać ich pełne rozwiązanie na osobnej kartce podpisanej imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu, numerem grupy i zadania.. Każde zadanie będzie oceniane w skali 0–8 pkt.

Część zadaniowa

1. Zmienne ε, X i Y są niezależne, przy czym ℙ(ε = ±1) = 1/2, zaś X i Y mają rozkład jednostajny na [0, 5]. Znajdź rozkład zmiennych ^{3} \sqrt{X}, ε ^{3} \sqrt{X} oraz ^{3} \sqrt{X} + ^{3} \sqrt{Y}.

2. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 1. Zbadaj zbieżność prawie na pewno następujących zmiennych losowych:

i) \frac{X_{1}^{2} +X_{2}^{2} +...+X_{n}^{2}}{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}} , ii) min{X_{1}, X_{2}, …, X_{n}}, iii) X_{n}^{1/n} .

3. W urnie znajduje się 7 kul białych i 8 czerwonych. Losujemy z urny kolejno po jednej kuli, a następnie po i-tym losowaniu zwracamy do urny wylosowaną kulę oraz i kul w tym samym kolorze.

a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że n-ta wylosowana kula będzie biała.

b) Za czwartym razem wylosowaliśmy kulę białą, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pierwsza wylosowana kula była czerwona?

4. Zmienne X, Y są niezależne i mają standardowy rozkład gaussowski N (0, 1). Wykaż, że zmienne X^{2} + Y^{2} oraz |X|/|Y | są niezależne.

5. Każdą z krawędzi grafu pełnego o 40 wierzchołkach pomalowano z równym prawdopodobieństwem jednym z trzech kolorów. Zakładając, że krawędzie zostały pomalowane w sposób niezależny, oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby zawartych w pomalowanym grafie trójkątów o trzech bokach różnego koloru.

6. Zmienne X, Y, Z są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [1, 3]. Oblicz 𝔼((X + Y)^{2}|Z), 𝔼((X + Y)^{2}|Y), ℙ(X Y |Y) oraz 𝔼(X + Z|(X + Y)^{2}).

Część testowa

1. (3pkt) Nieujemna zmienna losowa X ma dystrybuantę F. Wówczas a) ℙ(2 X 4) =

b) ℙ(X = 2) =

c) 𝔼X =

2. (3pkt) Sformułuj twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach.

3. (5pkt) (N_{t})_{t 0} jest procesem Poissona z intensywnością λ. Oblicz i) ℙ(1 < N_{2} = N_{3} < N_{4}) = ii) Var(N_{3} + 4N_{5}) = iii) 𝔼e^{N_{2} +N_{5} −N_{3}} =

4. (3pkt) Na mocy twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a przybliżone prawdopodobieństwo tego, że w 250 rzutach kostką wypadnie co najmniej 40 szóstek wynosi Φ(x) gdzie x = ....

5. (3pkt) Niech π będzie losową permutacją zbioru {1, …, 20}. Oblicz b) ℙ(π(1) > π(3) > π(5)) =

a) ℙ(π nie ma punktu stałego) =

6. (4pkt) Zmienne X_{i} są niezależne oraz mają gęstość g_{α} (x) = C_{α} \frac{ln^{α} (1+|x|)}{1+|x|^{2}} , gdzie C_{α} jest pewną stałą. Wówczas

b) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → 0 p.n. wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈..........

a) \frac{X_{1} +X_{2} +...+X_{n}}{n} → 0 według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈..........

7. (2pkt) Podaj definicję warunkowej wartości oczekiwanej 𝔼(X|G).

8. (4pkt) Zmienne X, Y, Z są niezależne i mają rozkład normalny o średniej 2 i wariancji 4. Wówczas

a) Zmienna X − 2Y + 3Z ma gęstość .....

b) 𝔼(X + 2Y − 3Z)^{3} = ........, 𝔼(X + 2Y − 3Z)^{4} = .......

9. (3pkt) Podaj definicję λ-układu i sformułuj twierdzenie o π i λ-układach.