Egzamin Poprawkowy z Rachunku Prawdopodobieństwa

10 września 2002

1. Zmienne X_{1}, X_{2}, … są niezależne i mają jednakowy rozkład Poissona z parametrem 2. Udowodnij, że ciąg zmiennych losowych

\frac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{X_{1}X_{2} + X_{2}X_{3} + … + X_{n}X_{n+1}}

jest zbieżny prawie na pewno i znajdź jego granicę.

2. Z 52 kartowej talii wylosowano bez zwracania 10 kart. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby pików wśród wylosowanych kart.

3. Zmienne X, Y i Z są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [0, 5]. Oblicz E(XY |X), E((X + Y)^{2}|X) oraz E(X + Y |Y + Z).

4. Zmienne X, Y, Z są niezależne i mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Czy zmienna (X + 2Y − 3Z)^{2} ma rozkład ciągły? Jeśli tak to znajdź jej gęstość.

5. Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, a Y wykładniczy z parametrem 3. Znajdź rozkład zmiennej X + Y i oblicz P(X Y).

6. Na rynku telekomunikacyjnym w pewnym kraju działają 3 sieci komórkowe. Do sieci A należy 25% klientów, do sieci B 35%, a do sieci C pozostałych 40%. Wśród klientów sieci A 60% ma telefony bezabonamentowe (na kartę), w sieci B i C jest to odpowiednio 50% i 45% klientów.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwu losowo wybranych użytkowników telefonii komórkowej należy do tej samej sieci?

b) Losowo wybrany użytkownik ma telefon na kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że używa on sieci A?

7. Zdarzenia A_{1}, A_{2}, … są niezależne oraz P(A_{n}) < 1 dla wszystkich n. Udowodnij, że jeśli prawie na pewno zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń A_{n} to prawie na pewno zachodzi nieskończenie wiele spośród zdarzeń A_{n}.

8. Losowo wybrano jedną spośród liczb całkowitych od 0 do 999999. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana liczba ma w zapisie dziesiętnym

a) przynajmniej jedną cyfrę równą 1

b) dokładnie jedną cyfrę równą 1

c) przynajmniej jedną cyfrę równą 1 i przynajmniej jedną cyfrę równą 9 d) sumę cyfr równą 8.

9. Niech X, X_{1}, X_{2}, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie. Udowodnij, że ciąg zmiennych Y_{n} = max(|X_{1}|, |X_{2}|, …, |X_{n}|) jest zbieżny prawie na pewno do ∥X∥_{∞} .

Wszystkie zadania będą oceniane w skali 0-10, do otrzymania oceny bardzo dobrej wystarczy rozwiązanie 7 zadań.