Imię i nazwisko:...................................................... Numer indeksu:........................

Część zadaniowa

1. (10 pkt) Przestrzenią stanów łańcucha Markowa (X_{n}) jest zbiór E = {1, 2, 3, 4}. Macierz przejścia tego łańcucha wynosi

P = ( \begin{matrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Załóżmy, że X_{0} = 1 p.n.

(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że łańcuch będzie w stanie 4 wcześniej niż w stanie 3?

(b) Obliczyć średni czas oczekiwania na dojście łańcucha do stanu 4.

2. (10pkt) W czasie szczytu liczba rozmów łączona przez pewną centralę telefoniczną w ciągu godziny ma rozkład Poissona ze średnią 150. Zakładając niezależność liczby łączonych rozmów w różnych godzinach oszacuj prawdopodobieństwo, że centrala połączy w ciągu 200 kolejnych godzin szczytu między 29 a 30 tysiące rozmów.

3. (10pkt) Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [−2, 2], S_{n} = X_{1}+X_{2}+…+X_{n}, F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}). Znajdź ciąg a_{n} taki, że (e^{S_{n} +a_{n}} , F_{n}) jest martyngałem. Czy ten martyngał jest zbieżny prawie na pewno?

Część testowa

W poniższych zadaniach φ_{X} oznacza funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X.

1. (3pkt) Podaj jedną z wersji twierdzenia ergodycznego dla łańcucha Markowa o skończonej przestrzeni stanów.

2. (4pkt) Zmienna losowa X spelnia warunki EX = −1, Var(X) = 5. Wówczas φ_{X} (0) = , φ′_{X} (0) = , φ′′_{X}(0) =

3. (4pkt) Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 3. Oblicz funkcję charakterystyczną 2X − Y, φ_{2X−Y} =

4. (4pkt) Uzupełnij stwierdzenie: Niech μ_{λ} będzie rozkładem wykładniczym z parametrem λ, zaś A ⊂ (0, ∞), wówczas rodzina (μ_{λ})_{λ∈A} jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy 5. (4pkt) Zmienne σ i τ są momentami zatrzymania względem filtracji (F_{n})_{n=0}^{∞} . Wówczas

następujące zmienne muszą być momentami zatrzymania (podkreśl właściwe odpowiedzi): (σ − 2) ∨ τ, τ ∧ (σ + 1), τ^{2}, τ + σ.

6. (3pkt) Co to znaczy, że wektor losowy X = (X_{1}, …, X_{n}) ma rozkład gaussowski (podaj jedną z definicji)?

7. (4pkt) Które z następujących warunków implikują jednostajną całkowalność martyngału X_{n} (podkreśl właściwe odpowiedzi): zbieżność X_{n} w L^{1}, zbieżność X_{n} w L^{2}, zbieżność prawie na pewno X_{n}, sup_{n} E|X_{n}| < ∞.

8. (4pkt) Sformułuj Centralne Twierdzenie Graniczne w wersji Lindeberga.