Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 22 stycznia 2001.

I. Czȩść testowa — należy napisać wyła̧cznie odpowiedź.

1. Rzucono 7 razy kostka̧. Ile średnio ,,szóstek” otrzymano w dwóch pierwszych rzutach, jeśli wiadomo, że wypadły cztery ,,szóstki”?

2. Zmienna losowa X_{n} ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1 − 1/n], n = 2, 3, . . .. Wyznaczyć lim_{n→∞} P (X_{n} ∈ [1/3, 2/3]).

3. X, Y sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrem 1. Obliczyć a) E((X + Y)^{2}|X); b) E(X|(X + Y)^{2}).

4. φ_{1}, φ_{2} sa̧ funkcjami charakterystycznymi. Czy poniższe funkcje sa̧ zawsze funkcjami charakterystycznymi?

a) φ_{1}φ_{2}; b) φ_{1} + φ_{2}; c) \frac{1}{3}φ_{1} + \frac{2}{3}φ_{2}; d) e^{it}φ_{1}(−3t).

5. Czas obsługi przy kasie w supermarkecie ma rozkład wykładniczy o średniej 5 (minut). Oszacować prawdopodobieństwo, że ła̧czny czas obsługi 100 klientów przekroczy 9 godzin. Czasy obsługi poszczególnych klientów sa̧ niezależne.

6. Proces (X_{n}, F_{n}) jest martyngałem. Czy wynika sta̧d, że dla n = 2, 3, …:

a) EX_{n} = EX_{1};

b) EX_{n}1_{{X_{n}≥0}} = EX_{1}1_{{X_{1}≥0}};

c) EX_{n}1_{{X_{1}≥0}} = EX_{1}1_{{X_{1}≥0}}.

7. Zmienne losowe X_{i} sa̧ niezależne i maja̧ rozkład jednostajny na [0, 1]. Wyznaczyć Eτ, gdzie τ = inf{n: X_{1} + … + X_{n} ≥ 1}.

8. Rzucamy kostka̧ do chwili otrzymania wszystkich parzystych wyników. Jaka jest wartość średnia sumy wyrzuconych oczek?

9. Dane sa̧ momenty stopu τ i σ. Które ze zdarzeń należa̧ do F_{τ}? Do F_{σ}?

a) {τ < σ}; b) {τ ≤ σ}; c) {τ = σ}. W trzech nastȩpnych zadaniach W_{t}, V_{t}, t ≥ 0 sa̧ niezależnymi procesami

Wienera.

10. Obliczyć Ee^{isW_{t}}.

11. Obliczyć funkcjȩ kowariancji procesu W_{t} − tW_{1}.

12. Podać warunek konieczny i dostateczny na to, by proces aW_{t} + bV_{t} był procesem Wienera.

II. Czȩść teoretyczna — wymagane jest pełne rozwia̧zanie z uzasadnieniem. T1. Wykazać, że rodzina rozkładów wykładniczych ze średnimi (λ_{t})_{t∈T} jest

jȩdrna wtedy i tylko wtedy, gdy sup_{t∈T} λ_{t} < ∞.

T2. Wykazać, że jeśli X_{n} → X według rozkładu, a_{n} → a, b_{n} → b, to a_{n}X_{n} + b_{n} → aX + b według rozkładu.

T3. Proces (X_{n}, F_{n}) jest martyngałem, D_{n} = X_{n+1} − X_{n}, n = 1, 2, . . .. Wykazać, że jeśli zmienne losowe D_{n} sa̧ ograniczone, to sa̧ nieskorelowane.