Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa

22 stycznia 2000

1. Zmienne X_{n} przyjmuja̧ wartości w przedziale [0.1] oraz lim_{n→0} EX_{n}^{k} = \frac{1}{k+1} dla k = 0.1, . . .. Udowodnij, że lim_{n→∞} P (a ≤ X_{n} ≤ b) = b − a dla wszystkich 0 ≤ a ≤ b ≤ 1.

2. Zmienna losowa X ma funkcjȩ charakterystyczna̧ φ. Udowodnij, że φ jest okresowa z okresem t_{0} > 0 wtedy i tylko wtedy gdy P (X ∈ \frac{2π}{t_{0}} Z) = 1.

3. Zmienne X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i} = 0, EX_{i}^{2} = σ^{2}. Udowodnij, że dla dowolnej funkcji f : R → R różniczkowalnej w 0

\sqrt{n}(f(\frac{S_{n}}{n}) − f(0)) → N (0, σ^{2}(f′(0))^{2}) według rozkładu,

gdzie jak zwykle S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}.

4. Zmienne X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne o rozkładzie jednostajnym na [0, 2]. Udowodnij, że zmienne M_{n} = X_{1}X_{2} ⋯ X_{n} sa̧ zbieżne p.n.p., ale nie w L^{1}.

5. Rzucamy kostka̧ dopóki nie zostana̧ wyrzucone wszystkie możliwe liczby oczek. Oblicz wartość oczekiwana̧

a) liczby oddanych rzutów

b) sumy wyrzuconych oczek.

6. Rozpatrzmy łańcuch Markowa na zbiorze liczb całkowitych z macierza̧ przejścia P = (p_{xy}) dana̧ wzorem

p_{0,k} = \frac{1}{3} dla k = −1, 0, 1,

p_{k,k−1} = q, p_{k,k+1} = p dla k ≤ −1,

p_{k,k−1} = p, p_{k,k+1} = q dla k ≥ 1,

gdzie q = 1 − p oraz p ∈ (0, 1). Wykaż, że łańcuch jest nieprzywiedlny i nieokresowy. Dla jakich wartości p, łańcuch ten jest powracalny?

7. Niech (W_{t})_{t≥0} bȩdzie procesem Wienera, zaś F_{t} = σ(W_{s} : s ≤ t). Znajdź funkcje f : [0, ∞) → R taka̧, że

(e^{iW_{t}+f(t)}, F_{t}) jest martyngałem.

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10, do otrzymania oceny bardzo dobrej wystarczy poprawne rozwia̧zanie 6 zadań.