Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa

13 czerwca 2000

1. Symetryczna̧ kostka̧ do gry rzucono piȩć razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucona suma oczek:

a) jest równa 10

b) jest parzysta

c) jest parzysta, jeśli wiadomo, że iloczyn wyrzuconych oczek jest parzysty.

2. Udowodnij, że dla dowolnej zmiennej losowej X

∑_{n=1}^{∞} P (|X| ≥ n) ≤ E|X| ≤ ∑_{n=0}^{∞} P (|X| ≥ n).

3. Zmienne losowe X, Y, ε sa̧ niezależne przy czym X i Y maja̧ rozkład jednostajny na [0, 1], a P (ε = ±1) = 1/2. Czy zmienne ε\sqrt{X} i \sqrt{X} + \sqrt{Y} maja̧ rozkład cia̧gły? Jeśli tak to znajdź ich gȩstość.

4. Zmienne losowe X_{1}, …, X_{n} sa̧ niezależne o wspólnym rozkładzie normalnym N (0, 1), zaś a_{1}, …, a_{n} jest cia̧giem liczb rzeczywistych. Dla jakich t

f(t) = E exp((t ∑_{i=1}^{n} a_{i}X_{i})^{2}) < ∞?

Oblicz f(t).

5. Wykaż, że dla dowolnych rzeczywistych zmiennych losowych X_{n}, X

oraz,Y_{n}, Y , jeśli X_{n} →^{P} X i Y_{n} →^{P} Y to X_{n}Y_{n} →^{P} XY.

6. Zmienne X i Y sa̧ niezależne o rozkładzie eksponencjalnym z parametrem 1. Oblicz E(X + Y |X), E(XY |X) i E(X|X + Y).

7. Dany jest cia̧g niezależnych zmiennych losowych X_{1}, X_{2}, … o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem 2. Udowodnij, że cia̧g

\frac{X_{1}^{2}X_{2} + X_{2}^{2}X_{3} + … + X_{n}^{2}X_{n+1}}{n}

jest zbieżny prawie na pewno i znajdź jego granicȩ.

8. Nauczyciel codziennie na lekcji pyta losowo wybranego ucznia z 20 osobowej klasy. Kolejne wybory sa̧ od siebie niezależne. Znajdź wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ liczby osób przepytanych przynajmniej raz w cia̧gu 20 lekcji.

9. Nieujemne zmienne losowe X_{1}, X_{2}, … sa̧ niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że EX_{i} = 1 oraz P (X_{i} = 1) < 1. Udowodnij, że X_{1}X_{2} ⋯ X_{n} → 0 p.w.

Wszystkie zadania bȩda̧ oceniane w skali 0-10, do otrzymania oceny bardzo dobrej wystarczy poprawne rozwia̧zanie 7 zadań.