Zadania Domowe z Rachunku Prawdopodobieństwa

Zestaw 1 - 15 lutego 2001 (do oddania 22 lutego)

1. Na 2n ponumerowanych miejscach przy okrągłym stole rozsadzono w sposób losowy n chłopców i n dziewczyn. Oblicz prawdopodobieństwo, że żadne dwie dziewczyny nie siedzą obok siebie.

2. Oblicz prawdopodobieństwo, że w grze w pokera talią 24 kartową dostaniemy ”z ręki”

a) parę

b) dwie pary

c) trójkę

d) fulla.

Zestaw 2 - 22 lutego 2001 (do oddania 1 marca)

1. Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym rozwiązaniu równania x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 20 w liczbach naturalnych

a) wszystkie x_{i} są dodatnie

b) wszystkie x_{i} są parzyste

c) x_{1} + x_{2} = 10.

2. Roztrzepana sekretarka umieściła w sposób losowy n listów w n uprzednio zaadresowanych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie k listów trafi do właściwych adresatów.

Zestaw 3 - 1 marca 2001 (do oddania 8 marca)

1. Rzucamy monetą dopóki nie wypadną 2 orły pod rząd. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucimy dokładnie k razy.

2. Z przedziału [0, 1] wybrano w sposób losowy 3 liczby a, b, c. Oblicz prawdopodobieństwo, że

i) a < b < c ii) c < a + b.

Zestaw 4 - 8 marca 2001 (do oddania 15 marca)

1. Z przedziału [0, 1] wybrano w sposób losowy 3 liczby a, b, c. Rozważamy następujące dwa zdarzenia: A–liczba a jest największa z wylosowanych, B–liczba a jest nie większa niż 1/2. Oblicz P (A|B) i P (B|A).

2. W urnie znajduje się a kul białych i b kul czarnych. Powtarzamy następujące doświadczenie: losujemy z urny kulę a następnie zwracamy ją do urny dodając c kul tego samego koloru. Oblicz prawdopodobieństwo, że n-ta wylosowana kula będzie biała.

3. Przy założeniach poprzedniego zadania oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza wylosowana kula była biała, jeśli za drugim razem wylosowano kulę białą.

Zestaw 5 - 15 marca 2001 (do oddania 15 marca)

1. Rzucamy n razy monetą. Niech A_{i} dla i = 1, 2, …, n oznacza zdarzenie, że wyrzucimy w i-tym rzucie orła, zaś A_{n+1} , że wyrzucimy w n rzutach parzystą liczbę orł’ow. Udowodnij, że dowolne n spośród zdarzeń A_{i} jest niezależnych, ale zdarzenia A_{i} nie są niezależne.

2. Prawdopodobieństwo, że koszykarz trafi do tarczy w pojedynczym rzucie wynosi 0.8, zakładając, że rzuty są oddawane niezależnie oblicz prawdopodobieństwo, że koszykarz

a) spudłował 1 i 3 rzut, jeśli wiadomo, że w 10 próbach spudłował dokładnie 3 razy,

b) spudłował w 10 próbach dokładnie 3 razy, jeśli wiadomo, że spudłował 1 i 3 rzut,

c) w 100 rzutach spudłuje parzystą liczbę razy.

Zestaw 6 - 22 marca 2001 (do oddania 29 marca)

1. Liczbę nazywamy normalną jeśli w jej rozwinięciu dziesiętnym występują wszystkie możliwe skończone ciągi cyfr. Wykaż, że losowo wybrana liczba z przedziału [0, 1] jest normalna.

2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości naturalne oraz

P (X k + l|X k) = P (X l) dla k, l = 0, 1, 2 …

(zakładamy, że P (X k) > 0 dla wszystkich k). Udowodnij, że X ma rozkład geometryczny.

Zestaw 7 - 29 marca 2001 (do oddania 5 kwietnia)

1. Udowodnij, że zmienna losowa X przyjmuje nie więcej niż trzy wartości z prawdopodobieństwem 1 (tzn. P (X ∈ {a, b, c}) = 1 dla pewnych a, b, c) wtedy i tylko wtedy gdy dystrybuanta X przyjmuje nie więcej niż 4 wartości.

2. Zmienna X ma rozkład eksponencjalny z parametrem 3, które z następujących zmiennych max(X, X^{2}), e^{2X+4} , min(X, 3) mają gęstości i ile one wynoszą (o ile istnieją)?

Zestaw 8 - 12 kwietnia 2001 (do oddania 19 kwietnia)

1. Do klasy chodzi 16 uczniów, na każdej lekcji nauczyciel pyta losowo wybraną osobę. Oblicz wartość oczekiwaną liczby osób przepytanych w ciągu 20 kolejnych lekcji.

2. Zmienna X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znajdź wariancję X oraz oblicz Ee^{tX} dla t ∈ R.

Zestaw 9 - 19 kwietnia 2001 (do oddania 26 kwietnia)

1. Agata gra z Karolem w orła i reszkę monetą niekoniecznie symetryczną. W pojedynczej grze Agata wygrywa z prawdopodobieństwem p, a Karol z prawdopodobieństwem q = 1 − p. Gra się kończy gdy któremuś z graczy zabraknie pieniędzy. Na początku gry Agata ma 20 złotych a Karol 30 złotych. Co się bardziej opłaca Agacie wybrać w pojedynczej grze stawkę 1 zł. czy 2 zł (rozpatrz przypadki p < 1/2, p = 1/2, p > 1/2)?

2. Udowodnij, że jeśli zmienna X przyjmuje tylko wartości całkowite to

E|X| = ∑_{n=1}^{∞} P (|X| n).

Zestaw 10 - 26 kwietnia 2001 (do oddania 10 maja)

1. Zmienne X_{1}, X_{2}, …, X_{n} są niezależne o rozkładzie jednostajnym na [1, 3]. Znajdź rozkład zmiennych Y = min(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) oraz Z = max(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}).

2. Zmienna X ma skończoną wariancję. Oblicz min_{t∈R} E(X − t)^{2}.

Zestaw 11 - 10 maja 2001 (do oddania 17 maja)

1. Zmienne X, Y są niezależne o rozkładzie geometrycznym z parametrami p_{1} i p_{2} odpowiednio. Znajdź rozkład X + Y oraz P (X < Y).

2. Zmienne X, Y, ε są nieżależne przy czym X i Y mają rozkład jednostajny na [−1, 2], zaś P (ε = ±1) = 1/2. Znajdź rozkład X + Y, εX oraz ε + X.

Zestaw 12 - 17 maja 2002 (do oddania 24 maja)

1. X_{1}, X_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie eksponencjalnym z parametrem 1. Niech S_{0} = 0 oraz S_{n} = X_{1} + X_{2} + …X_{n} dla n > 0. Dla t > 0 zdefiniujmy

N(t) = inf{n 0 : S_{n} t}.

Znajdź rozkład N(t).

2. Udowodnij, że a) t^{p}P (|X| > t) E|X|^{p}I_{{|X|>t}} dla t > 0;

b) lim_{t→∞} t^{p}P (|X| > t) = 0, jeśli E|X|^{p} < ∞.