Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1

1. Znajdź rozkład zmiennej 5W_{1} − W_{3} + W_{7}.

2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aW_{1} − W_{2} oraz W_{3} + bW_{5} są niezależne?

3. Znajdź rozkład wektora losowego (W_{t_{1}} , W_{t_{2}} , …, W_{t_{n}} ) dla 0 < t_{1} < t_{2} < … < t_{n}.

4. Udowodnij, że lim_{t→∞} \frac{W_{t}}{t} = 0 p.n.

5. Udowodnij, że następujące procesy też są procesami Wienera a) X_{t} = −W_{t} (odbicie)

b) Y_{t} = c^{−1/2} W_{ct}, c > 0 (przeskalowanie czasu)

c) Z_{t} = tW_{1/t} dla t > 0 oraz Z_{0} = 0 (inwersja czasu)

d) U_{t} = W_{T +t} − W_{T}, T 0

e) V_{t} = W_{t} dla t T, V_{t} = 2W_{T} − W_{t} dla t > T, gdzie T 0.

6. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera są nieograniczone.

7. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na ℝ_{+} .

8. Niech π_{n} = {t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} }, gdzie a = t_{0}^{(n)} < t_{1}^{(n)} < … < t_{k_{n}}^{(n)} = b będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz ∥π_{n}∥ := max_{k} |t_{k}^{(n)} − t_{k−1}^{(n)} | oznacza średnicę π_{n}. Udowodnij, że

S_{n} := ∑_{k=1}^{k_{n}} |W_{t_{k}^{(n)}} − W_{t_{k−1}^{(n)}} |^{2} → b − a w L^{2}(Ω, F, P) przy n → ∞,

jeśli ∥π_{n}∥ → 0 oraz S_{n} → b − a p.n., jeśli ∑ _{n} ∥π_{n}∥ < ∞.

9. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale.

10. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera są funkcjami nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie przedziału [0, ∞). Wskazówki:

a) Jeśli funkcja f jest rózniczkowalna w jakimś punkcie przedziału [0, 1], to istnieje liczba M < ∞ taka, że dla odpowiednio dużych n istnieje 0 j n−3 taka, że |f((j+1)/n)−f(j/n)| M/n, |f((j+2)/n)−f((j+1)/n)| M/n oraz |f((j + 3)/n) − f((j + 2)/n)| M/n.

b) Wykaż, że ℙ(|W_{(j+1)/n} −W_{j/n} | M/n, |W_{(j+2)/n} −W_{(j+1)/n} | M/n, |W_{(j+3)/n} − W_{(j+2)/n} | M/n) CMn^{−3/2} i wywioskuj stąd nieróżniczkowalność trajektorii na przedziale [0, 1].

1. Udowodnij, że jeśli zbiór A ∈ B(ℝ^{T}), to istnieje zbiór przeliczalny T_{0} ⊂ T taki, że jeśli x, y ∈ ℝ^{T} oraz x(t) = y(t) dla t ∈ T_{0} to x ∈ A ⇔ y ∈ A.

2. Niech T = [a, b] a < t_{0} < b, wykaż, że następujące zbiory nie należą do B(ℝ^{T}).

i) A_{1} = {x ∈ ℝ^{T}: sup_{t∈[a,b]} |x_{t}| 1}; ii) A_{2} = {x ∈ ℝ^{T}: t → x_{t} ciągłe na [a,b]}; iii) A_{3} = {x ∈ ℝ^{T}: lim_{t→t_{0}} x_{t} = 0}: iv) A_{4} = {x ∈ ℝ^{T}: t → x_{t} ciągłe wt_{0}}. Wykaż mierzalność tych zbiorów przy założeniu ciągłości (prawostronnej ciągłości) trajektorii tzn. wykaż, że wszystkie te zbiory po przecięciu z C(T) (RC(T) odp.) należą do B(ℝ^{T}) ∩ C(T) (B(ℝ^{T}) ∩ RC(T) odp.).

3. Niech T = [a, b]. Wykaż, że F = {A ∩ C(T): A ∈ B(ℝ^{T})} jest σ-ciałem zbiorów borelowskich (w metryce supremum) na C(T).

4. Wykaż, że istnieje proces (X_{t})_{t 0} o przyrostach niezależnych, startujący z 0 taki, że X_{t} − X_{s} ma rozkład Cauchy’ego z parametrem t − s (proces taki nazywamy procesem Cauchy’ego, bądź procesem 1-stabilnym).

5. Proces X jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu X:

a) niezależność przyrostów,

b) stacjonarność przyrostów,

c) ciągłość trajektorii,

d) lim_{t→∞} \frac{X_{t}}{t} = 0 p.n.

e) lim_{t→∞} \frac{X_{t}}{t} = 0 według prawdopodobieństwa?

6. Rozpatrzmy następujące 3 własności procesów:

a) ciągłość trajektorii;

b) stochastyczną ciągłość (tzn. X_{t} →^{ℙ} X_{s} gdy t → s);

c) ciągłość wg p-tego momentu (tzn. 𝔼|X_{t} − X_{s}|^{p} → 0 gdy t → s). Jakie implikacje zachodzą między powyższymi własnościami?

Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 3

1. Wykaż, że trajektorie procesu Wienera nie są lokalnie 1/2-hölderowskie.

2. Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli 𝔼|X_{t} − X_{s}|^{2} = |t − s|^{2α} (można wykazać, że taki proces istnieje dla 0 < α < 1). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

3. Załóżmy, że T jest przedziałem i określmy:

F_{t+} := ⋂_{s>t} F_{s}, F_{t−} := σ( ⋃_{s<t} F_{s}) .

a) Wykaż, że filtracja F_{t+} jest prawostronnie ciągła, tzn. F_{t++} = F_{t+} .

b) Udowodnij, że jeśli F_{t} = F_{t}^{X} jest filtracją generowaną przez proces X o lewostronnie ciągłych trajektoriach, to F_{t−} = F_{t}.

c) Niech T = [0, ∞), A ∈ F oraz X_{t} = (t − 1)^{+} I_{A}. Znajdź F_{t}^{X}.

d) Dla X jak w punkcie c) określmy τ := inf{t: X_{t} > 0}. Wykaż, że τ nie jest momentem zatrzymania względem F_{t}^{X} ale jest momentem zatrzymania względem F_{t+}^{X} .

4. Załóżmy, że T jest przedziałem, wykaż, że:

a) jeśli τ jest momentem zatrzymania, to {τ < t} ∈ F_{t} dla wszystkich t b) jeśli {τ < t} ∈ F_{t} dla wszystkich t, to τ jest momentem zatrzymania względem F_{t+} .

5. Niech T = [0, ∞), a τ będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych τ + 1, τ^{2}, (τ − 1)_{+} muszą być momentami zatrzymania?

6. Niech T = [0, ∞), a X_{t} procesem F_{t}-adaptowalnym o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że dla A otwartego τ_{A} := inf{t: X_{t} ∈ A} jest momentem zatrzymania względem F_{t+} .

7. Wykaż, że jeśli τ i σ są momentami zatrzymania, to τ ∧ σ jest momentem zatrzymania, F_{τ∧σ} = F_{τ} ∩ F_{σ} oraz zdarzenia {τ < σ}, {τ = σ} i {τ σ} należą do F_{τ}, F_{σ} i F_{τ∧σ} .

8. Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania, to proces X_{t} := I_{[0,τ)}(t) jest progresywnie mierzalny.

9. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem (F_{t})_{t∈T} , a (X_{t}) będzie procesem F_{t}-adaptowalnym. Wykaż, że

a) τ jest F_{τ}-mierzalne

b) Jeśli τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to X_{τ} jest F_{τ} mierzalny na zbiorze τ < ∞.

10. Wykaż, że jeśli σ jest momentem zatrzymania, τ σ oraz τ jest F_{σ} mierzalny, to τ jest momentem zatrzymania.

11. Wykaż, że jeśli proces X_{t} ma niezależne przyrosty i prawostronnie ciągłe trajektorie, to dla s < t zmienna X_{t} − X_{s} jest niezależna od F_{s+}^{X} .

1. Załóżmy, że N_{t} jest procesem Poissona, tzn. procesem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że N_{0} = 0, N ma przyrosty niezależne, oraz N_{t} − N_{s} ∼ Poiss(t − s) dala t > s. Wykaż, że (N_{t} − λt)_{t 0} oraz ((N_{t} − λt)^{2} − λt)_{t 0} są martyngałami względem (F_{t}^{N})_{t 0}

2. Wykaż, że (exp(λW_{t} − \frac{λ^{2} t}{2} ), F_{t}^{W})_{t 0} jest martyngałem dla dowolnego λ ∈ ℝ.

3. Niech W_{t} będzie n-wymiarowym procesem Wienera, a f funkcją harmoniczną na ℝ^{n} taką, że 𝔼|f(W_{t})| < ∞ dla wszystkich t. Wykaż, że (f(W_{t}), F_{t}^{W})_{t 0} jest martyngałem.

4. (Prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera) Wykaż, że a) lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} = 1 p.n.

b) lim inf_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} = −1 p.n.

Wskazówki:

i) Niech C > 1 oraz u > C^{1/2} . Wykaż, że

∑_{n} ℙ( sup_{C^{n} t C^{n+1}} W_{t} u\sqrt{2C^{n} lnlnC^{n}}) < ∞

i wywnioskuj stąd, że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} u p.n. ii) Wykaż, że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} 1 p.n. oraz lim inf_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} −1 p.n. iii) Udowodnij, że dla g ∼ N (0, 1) i t > 0,

\frac{1}{\sqrt{2π}} ( \frac{1}{t} − \frac{1}{t^{3}}) e^{−t^{2} /2} ℙ(g t) \frac{1}{\sqrt{2π}t}e^{−t^{2} /2} .

iv) Wykaż, że dla C > 1 i u < 1

∑ ℙ(W_{C^{n}} − W_{C^{n−1}} u\sqrt{1 − 1/C} \sqrt{2C^{n} lnlnC^{n}}) = ∞

i wywnioskuj stąd i z ii), że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} u(1 − 1/C)^{1/2} − C^{−1/2} p.n.

5. Udowodnij, że a) lim sup_{t→0+} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln(1/t)}} = 1 p.n.

b) lim inf_{t→0+} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln(1/t)}} = −1 p.n.

1. Które z podanych niżej warunków implikują jednostajną całkowalność ciągu X_{n}:

a) sup_{n} 𝔼|X_{n}| < ∞,

b) sup_{n} 𝔼|X_{n}|^{2} < ∞,

c) 𝔼 sup_{n} |X_{n}| < ∞,

d) zbieżność X_{n} w L_{1},

e) zbieżność X_{n} p.n.?

2. Wykaż, że martyngał M_{t} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2) jest zbieżny p.n. i znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w L_{1}?

3. Niech W_{t} = (W_{t}^{1}, …, W_{t}^{d}) będzie d wymiarowym procesem Wienera, a x_{0} ∈ ℝ^{d} oraz d > 2.

a) Wykaż, że |W_{t} − x_{0}|^{2−d} jest nieujemnym nadmartyngałem.

b) Udowodnij, że |W_{t} − x_{0}|^{2−d} zbiega przy t → ∞ do 0 według prawdopodobieństwa i p.n. i wywnioskuj stąd, że lim_{t→∞} |W_{t}| = ∞ p.n..

c) Wykaż, że dla prawostronnie ciągłego nadmartyngału (X_{t})_{t a} zachodzi

∀_{λ>0} λℙ(sup_{t a}X_{t} λ) sup_{t}𝔼X_{t}^{−} + 𝔼X_{a}.

d) Wykaż, że ℙ(∃_{t>0} W_{t} = x_{0}) = 0.

4. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem F_{t}^{W}.

a) Wykaż, że (W_{τ∧n} , F_{τ∧n} )_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

b) Udowodnij, że jeśli 𝔼τ < ∞, to 𝔼 sup_{n} W_{τ∧n}^{2} < ∞.

c) Wykaż, że jeśli 𝔼τ < ∞, to 𝔼W_{τ}^{2} = 𝔼τ i 𝔼W_{τ} = 0.

5. Niech W_{t} będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz

τ_{a} := inf{t > 0: W_{t} = a}, τ̃_{a} := inf{t > 0: |W_{t}| = a}.

Rozpatrując martyngały W_{t} i W_{t}^{2} − t wykaż, że

a) τ_{a} < ∞ p.n. dla wszystkich a ∈ ℝ,

b) ℙ(τ_{a} < τ_{−b} ) = \frac{b}{a+b} dla a, b > 0,

c) 𝔼τ̃_{a} = a^{2} dla a 0,

d) 𝔼τ_{a} ∧ τ_{−b} = ab dla a, b > 0,

e) 𝔼τ_{a} = ∞ dla wszystkich a ≠ 0.

6. Rozpatrując martyngały M_{t}^{λ} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2) oraz N_{t}^{λ} = (M_{t}^{λ} + M_{t}^{−λ} )/2 wykaż, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania, dla wszystkich a, λ 0,

a) 𝔼e^{−λτ_{a}} = e^{−a\sqrt{2λ}} ,

b) 𝔼e^{−λτ̃_{a}} = (cosh(a\sqrt{2λ}))^{−1} .

7. Załóżmy, że h jest niemalejącą funkcją ciągłą na przedziale [a, b]. Udowodnij, że

a) Jeśli g ma wahanie skończone, to g ∘ h też ma wahanie skończone

b) Jeśli ∫_{h(a)}^{h(b)} fdg istnieje, to

∫_{a}^{b}f(h(t))dg(h(t)) = ∫_{h(a)}^{h(b)} f(s)dg(s).

8. Załóżmy, że f, g, h: [a, b] → ℝ, przy czym f i g są ciągłe, a h ma wahanie skończone. Udowodnij, że

a) H(x) = ∫_{a}^{x} g(t)dh(t) ma wahanie skończone na [a, b].

b) ∫_{a}^{b}fdH = ∫_{a}^{b}fgdh.

9. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na [a, b] zachodzi ∫_{a}^{b}f(s)df(s) = \frac{1}{2}(f^{2}(b) − f^{2}(a)).

10. Oblicz granice w L_{2}(Ω) przy n → ∞ a) ∑ _{k=0}^{n−1} W_{tk/n} (W_{t(k+1)/n} − W_{tk/n} )

b) ∑ _{k=0}^{n−1} W_{t(k+1)/n} (W_{t(k+1)/n} − W_{tk/n} ).

Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 6 1. Oblicz Cov(∫_{0}^{s} h_{1}(t)dW_{t}, ∫_{0}^{s} h_{2}(t)dW_{t}) dla h_{1}, h_{2} ∈ L_{2}([0, s]).

2. Niech C_{p} := (𝔼|W_{1}|^{p})^{1/p}. Wykaż, że dla 0 < p < ∞, przekształcenie h → C_{p}^{−1} ∫_{0}^{T} h(t)dW_{t} jest izometrycznym włożeniem L_{2}([0, T]) w L_{p}(Ω).

3. Wykaż, że dla 0 u < t i h ∈ L_{2}([0, t]) zachodzi

∫_{0}^{u} h(s)dW_{s} = ∫_{0}^{t} h𝟙_{[0,u]}(s)dW_{s} p.n.

4. Wykaż, że dla h ∈ C^{1}[0, t] zachodzi

∫_{0}^{t} h(s)dW_{s} = h(t)W_{t} − ∫_{0}^{t} h′(s)W_{s}ds p.n.

5. Wykaż, że proces

Y_{t} = \{ \begin{matrix}(1 − t) ∫_{0}^{t} \frac{1}{1−s} dW_{s} & 0 t < 1 \\ 0 & t = 1 \end{matrix}

ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Z_{t} = W_{t} − tW_{1} (most Browna).

1. Wykaż, że jeśli X ∈ L_{T}^{2}, 0 t s T oraz ξ jest ograniczoną zmienną losową F_{t} mierzalną to ξXI_{(t,s]} ∈ L_{T}^{2} oraz ∫_{t}^{s} ξXdW = ξ ∫_{t}^{s} XdW (Uwaga: ∫_{t}^{s} XdW definiujemy jako ∫_{0}^{T} 𝟙_{(s,t]} XdW).

2. Wykaż, że jeśli 0 < t_{1} < … < t_{m} < T oraz ξ_{k} są zmiennymi losowymi w L^{2}(Ω), F_{t_{k}} mierzalnymi to proces X := ∑ _{k=1}^{m−1} ξ_{k}𝟙_{(t_{k} ,t_{k+1} ]} należy do L_{T}^{2} oraz ∫_{0}^{t} XdW = ∑ _{k=1}^{m−1} ξ_{k}(W_{t_{k+1} ∧t} − W_{t_{k} ∧t} ).

3. Załóżmy, że X jest procesem prognozowalnym, ciągłym w L^{2} (tzn. t → X_{t} jest ciągła z [0, T] w L^{2}(Ω)). Wykaż, że wówczas X ∈ L_{T}^{2} oraz dla dowolnego ciągu podziałów 0 = t_{0}^{(n)} t_{1}^{(n)} … t_{k_{n}}^{(n)} = T o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla t T

∑_{k=0}^{k_{n} −1} X_{t_{k}^{(n)}} (W_{t_{k+1}^{(n)}} − W_{t_{k}^{(n)}} ) → ∫_{0}^{T} XdW

w L^{2}(Ω) przy n → ∞.

4. Oblicz ∫_{0}^{t} W_{s}dW_{s}.

5. Niech τ będzie momentem zatrzymania takim, że 𝔼τ < ∞. Wykaż, że 𝟙_{[0,τ]} ∈ L_{∞}^{2} oraz ∫_{0}^{∞} 𝟙_{[0,τ]}(s)dW_{s} = W_{τ}. Wywnioskuj stąd, że 𝔼W_{τ} = 0 oraz 𝔼W_{τ}^{2} = 𝔼τ.

6. Dla a, b > 0 określmy τ := inf\{t : |W_{t}| = a\sqrt{b + t}\}. Wykaż, że τ < ∞ p.n. oraz 𝔼τ < ∞ wtedy i tylko wtedy gdy a < 1. Ponadto dla a < 1, 𝔼τ = \frac{a^{2} b}{1−a^{2}} .

7* Niech ξ będzie zmienną losową o skończonej wariancji taką, że 𝔼ξ = 0. Wykaż, że istnieje moment zatrzymania τ taki, że W_{τ} ma ten sam rozkład co ξ oraz 𝔼τ = 𝔼ξ^{2}.

8. Załóżmy, że M jest adaptowalnym, prawostronnie ciągłym procesem takim, że M_{0} = 0 i dla wszystkich t, 𝔼|M_{t}| < ∞. Wykaż, że M jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy 𝔼M_{τ} = 0 dla wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania τ.

1. Niech A będzie pewną klasą procesów adaptowalnych na [0, T) taką, że jeśli X ∈ A to X^{τ} ∈ A dla dowolnego momentu zatrzymania τ. Przez A_{loc} oznaczamy wówczas klasę tych procesów adaptowalnych na [0, T) dla których istnieje rosnący ciąg momentów zatrzymania τ_{n} taki, że τ_{n} → T oraz X^{τ_{n}} ∈ A dla wszystkich n.

a) Wykaż, że jeśli X ∈ A_{loc} to X^{τ} ∈ A_{loc} dla dowolnego momentu zatrzymania τ

b) Wykaż, że (A_{loc})_{loc} = A_{loc}

c) Wykaż, że jeśli A jest liniowa to A_{loc} też jest liniowa.

2. Wykaż, że M − M_{0} ∈ M_{loc}^{c} wtedy i tylko wtedy, gdy M − M_{0} ∈ M_{loc}^{2,c}.

3. a) Wykaż, że każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest martyngałem.

b) Wykaż, że każdy nieujemny całkowalny ciągły martyngał lokalny jest nadmartyngałem. c*) Podaj przykład nieujemnego całkowalnego ciągłego martyngału lokalnego, który nie jest martyngałem.

4. Niech X ∈ Λ_{T}^{2}, 0 t < s T oraz ξ będzie zmienną losową F_{t_{1}} mierzalną (niekoniecznie ograniczoną). Wykaż, że ξX𝟙_{(t,s]} ∈ Λ_{T}^{2} oraz ∫_{t}^{s} ξXdW = ξ ∫_{t}^{s} XdW.

5. Niech M ∈ M_{loc}^{2,c} oraz X ∈ Λ_{T}^{2}(M). Wykaż, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi

(∫ XdM)^{τ} = ∫ XdM^{τ} = ∫ X𝟙_{[0,τ]}dM = ∫ X𝟙_{[0,τ]}dM^{τ}.

W szczególności jeśli procesy X i Y pokrywają się na przedziale [0, τ], to (∫ XdM)^{τ} = (∫ Y dM)^{τ}.

6. Niech X będzie martyngałem lokalnym takim, że |X_{t}| Y dla wszystkich t oraz 𝔼Y < ∞. Wykaż, że X jest martyngałem.

7. Wykaż, że każdy ciągły martyngał lokalny M = (M_{t})_{t<T} , którego trajektorie mają skończone wahanie na każdym przedziale [0, t] jest stale równy M_{0}.

1. Niech M = ∫ W_{t}^{2}dW_{t}. Oblicz 𝔼M_{s}^{2}. Jak wygląda przestrzeń L_{T}^{2}(M)? Czy W_{t}^{−1} należy do tej przestrzeni?

2. Oblicz ⟨W^{1}, W^{2}⟩, gdzie W^{1}, W^{2} są niezależnymi procesy Wienera.

3. Udowodnij, że a) ⟨M, M⟩ = ⟨M⟩ = ⟨−M⟩,

b) ⟨M, N⟩ = ⟨N, M⟩,

c) ⟨M − M_{0}, N⟩ = ⟨M, N − N_{0}⟩ = ⟨M − M_{0}, N − N_{0}⟩ = ⟨M, N⟩,

d) (N, M) → ⟨M, N⟩ jest przekształceniem dwuliniowym,

e) ⟨M^{τ}, N^{τ}⟩ = ⟨M^{τ}, N⟩ = ⟨M, N^{τ}⟩ = ⟨M, N⟩^{τ},

f) Jeśli M ∈ M_{loc}^{2,c}, X, Y ∈ Λ_{T}^{2}(M) oraz N_{1} = ∫ X dM, N_{2} = ∫ Y dM, to ⟨N_{1}, N_{2}⟩ = ∫ XY d⟨M⟩.

g) Jeśli M_{1}, M_{2} ∈ M_{loc}^{2,c}, X ∈ Λ_{T}^{2}(M_{1}) ∩ Λ_{T}^{2}(M_{2}) oraz N_{i} = ∫ X dM_{i} to ⟨N_{1}, N_{2}⟩ = ∫ X^{2}d⟨M_{1}, M_{2}⟩.

4. Wykaż, że a) |⟨M, N⟩| ⟨M⟩⟨N⟩

b) Wah_{[s,t]}(⟨M, N⟩) \frac{1}{2}[⟨M⟩_{t} − ⟨M⟩_{s} + ⟨N⟩_{t} − ⟨N⟩_{s}].

5. Niech M, N ∈ M_{loc}^{c} oraz X ∈ Λ_{T}^{2}(M) ∩ Λ_{T}^{2}(N). Uzasadnij, że X ∈ Λ_{T}^{2}(aM + bN) dla a, b ∈ ℝ oraz ∫ Xd(aM + bN) = a ∫ XdM + b ∫ XdN.

1. Określamy

S_{n}(α) = ∑_{k=n}^{3n−1} | ∫_{k/n}^{(k+1)/n} W_{s}^{4}dW_{s} |^{α} .

a) Wykaż, że ciąg S_{n}(2) jest zbieżny w L_{1} i zidentyfikuj jego granicę.

b) Co można powiedzieć o zbieżności według prawdopodobieństwa ciągu S_{n}(α) dla α ≠ 2?

2. Wykaż, że dla dowolnego procesu M ∈ M_{loc}^{c}, X ∈ Λ_{2}^{T}(M) oraz momentu zatrzymania τ T,

𝔼 sup_{t<τ}( ∫_{0}^{t} X dM)^{2} 4𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} d⟨M⟩_{s}.

3. Załóżmy, że M ∈ M_{loc}^{c}, M_{0} = 0 zaś τ jest momentem zatrzymania takim, że 𝔼⟨M⟩_{τ} < ∞. Wykaż, że M^{τ} jest martyngałem.

4. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw ∫ W_{s}^{2}dW_{s} jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych.

5. Załóżmy, że X jest procesem ciągłym i adaptowalnym, zaś Z ciągłym semimartyngałem. Wykaż, że jeśli t < T, Π_{n} = (t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} ) jest ciągiem podziałów [0, t] takim, że 0 = t_{0}^{(n)} t_{1}^{(n)} … t_{k_{n}}^{(n)} = t oraz diam(Π_{n}) → 0, to

∑_{k=0}^{k_{n} −1} X_{t_{k}^{(n)}} (Z_{t_{k+1}^{(n)}} − Z_{t_{k}^{(n)}} ) → ∫_{0}^{t} X_{s}dZ_{s} według prawdopodobieństwa.

1. Korzystając ze wzoru Itô oblicz ⟨W_{t}^{2}⟩ oraz ⟨W_{t}, e^{W_{t}} ⟩.

2. Niech f będzie funkcją klasy C^{2} na ℝ^{2}, korzystając z dwuwymiarowego wzoru Itô oblicz df(t, W_{t}) oraz df(tW_{t}).

3. Znajdź proces (A_{t})_{t 0} , którego trajektorie mają wahanie ograniczone na przedziałach skończonych taki, że A_{0} = 0 oraz proces X_{t} = sin(2W_{t} − 3t) − A_{t} jest martyngałem lokalnym. Wykaż, że X_{t} jest martyngałem oraz 𝔼X_{t}^{2} 4t.

4. Niech Z_{t} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2). Wykaż, że dZ_{t} = λZ_{t}dW_{t} tzn. Z_{t} = 1 + λ ∫_{0}^{t} Z_{s}dW_{s}.

5. Wykaż, że ciąg

S_{n} = ∑_{k=1}^{3n} \frac{k}{n}W_{k/n}^{3} (W_{k/n} − W_{(k−1)/n} )

jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę.

6. Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że proces N_{t} = exp(M_{t} − \frac{1}{2}⟨M⟩_{t}) jest ciągłym martyngałem lokalnym oraz nadmartyngałem. Ponadto jeśli M jest ograniczony, to N jest martyngałem.

7. Niech g: ℝ^{d} → ℝ będzie funkcją klasy C^{2}, G zbiorem otwartym ograniczonym w ℝ^{d} oraz x ∈ G. Określmy τ := inf{t: W_{t} + x ∉ G}. Korzystając ze wzoru Itô wykaż, że jeśli g jest harmoniczna w G to g(W_{t}^{τ} +x) jest martyngałem. Pokaż, że wystarczy zakładać, iż g jest C^{2} w pewnym otoczeniu domknięcia G.

8. Wykaż, że dla 3-wymiarowego ruchu Browna W_{t} i a ∈ ℝ^{3}, a ≠ 0 proces X_{t} = |W_{t} − a|^{−1} jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. Ponadto X_{t} jest nadmartyngałem oraz zbiega do 0 w L^{1} i prawie na pewno.

9. Wykaż, że 2-wymiarowego ruchu Browna W_{t} i a ∈ ℝ^{2}, a ≠ 0 proces X_{t} = ln|W_{t}−a| jest martyngałem lokalnym. Wywnioskuj stąd, że z prawdopodobieństwem 1 proces W_{t} omija punkt a, ale trajektoria procesu jest dowolnie bliska punktu a.

1. Załóżmy, że W = (W^{(1)}, W^{(2)}, W^{(3)}) jest trójwymiarowym procesem Wienera oraz

X_{t} := ∫_{0}^{t} sin(W_{t}^{(3)})dW_{t}^{(1)} + ∫_{0}^{t} cos(W_{t}^{(3)})dW_{t}^{(2)}.

Wykaż, że X jest procesem Wienera.

2. Wykaż, że dla a > 0 proces X_{t} = ξe^{bt} + \sqrt{a}∫_{0}^{t} e^{b(t−s)} dW_{s} jest jedynym rozwiązaniem równania dX_{t} = bX_{t}dt+\sqrt{a}dW_{t} z warunkiem początkowym X_{0} = ξ. Jeśli b < 0 oraz ξ ma rozkład N (0, \frac{−a}{2b} ) to X_{t} jest procesem stacjonarnym (proces Ornsteina-Uhlenbecka)

3. i) Wykaż, że dla x, σ, b ∈ ℝ istnieje dokładnie jeden proces X = (X_{t})_{t 0} taki, że

X_{t} = x + σ ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s} + b ∫_{0}^{t} X_{s}ds.

Ponadto sup_{t u} 𝔼X_{t}^{2} < ∞ dla u < ∞. ii) Oblicz 𝔼X_{t}. iii) Znajdź stochastyczne równania różniczkowe spełnione przez X^{2} + t i e^{X}.

4. Wykaż, że rozwiązanie równania dX = e^{−X} dW − \frac{1}{2}e^{−2X} dt eksploduje w skończonym czasie. (Wsk. Rozpatrz proces Y = e^{X}).

5. Niech W = (W^{1}, …, W^{d}) będzie d-wymiarowym ruchem Browna, d 2 oraz R_{t} := |W_{t}| (R_{t} jest nazywane procesem Bessela). Wykaż, że

a) B_{t} := ∑ _{j=1}^{d} ∫_{0}^{t} \frac{W_{s}^{(j)}}{R_{s}} dW_{s}^{(j)} jest jednowymiarowym procesem Wienera;

b) R_{t} = ∫_{0}^{t} \frac{d−1}{2R_{s}} ds + B_{t}

6. Znajdź taką miarę probabilistyczną ℚ na (Ω, F_{1}^{W} ), by proces (W_{t}+2t^{4})_{0 t 1} był procesem Wienera względem ℚ.

7. Niech T < ∞, U będzie procesem Wienera na (Ω, F, ℙ),

Z_{t} = exp( ∫_{0}^{t} b(s, U_{s})dU_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} b^{2}(s, U_{s})ds) , W_{t} := U_{t}−∫_{0}^{t} b(s, U_{s})ds.

Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli 𝔼Z_{T} = 1 to istnieje miara probabilistyczna ℚ_{T} taka, że na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, ℚ_{T}) para (W_{t})_{0 t T} jest procesem Wienera oraz

dU_{t} = b(t, U_{t})dt + dW_{t}, 0 t T, U_{0} = 0.  (1)