Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1

1. Znajdź rozkład zmiennej 5W_{1} − W_{3} + W_{7}.

2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aW_{1} − W_{2} oraz W_{3} + bW_{5} są niezależne?

3. Udowodnij, że lim_{t→∞} \frac{W_{t}}{t} = 0 p.n.

4. Znajdź rozkład wektora losowego (W_{t_{1}} , W_{t_{2}} , …, W_{t_{n}} ) dla 0 < t_{1} < t_{2} < … < t_{n}.

5. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera są nieograniczone.

6. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na ℝ_{+} .

7. Udowodnij, że następujące procesy też są procesami Wienera a) X_{t} = −W_{t} (odbicie)

b) Y_{t} = c^{−1/2} W_{ct}, c > 0 (przeskalowanie czasu)

c) Z_{t} = tW_{1/t} dla t > 0 oraz Z_{0} = 0 (inwersja czasu)

d) U_{t} = W_{T +t} − W_{T}, T 0

e) V_{t} = W_{t} dla t T, V_{t} = 2W_{T} − W_{t} dla t > T, gdzie T 0.

8. Niech π_{n} = {t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} }, gdzie a = t_{0}^{(n)} < t_{1}^{(n)} < … < t_{k_{n}}^{(n)} = b będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz ∥π_{n}∥ = max_{k} |t_{k}^{(n)} − t_{k−1}^{(n)} | oznacza średnicę π_{n}. Udowodnij, że

S_{n} = ∑_{k=1}^{k_{n}} |W_{t_{k}^{(n)}} − W_{t_{k−1}^{(n)}} |^{2} → b − a, n → ∞ w L^{2}(Ω, F, P),

jeśli ∥π_{n}∥ → 0 oraz S_{n} → b − a p.n., jeśli ∑ _{n} ∥π_{n}∥ < ∞.

9. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale.

10. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Wienera są funkcjami nieróżniczkowalnymi w żadnym punkcie przedziału [0, ∞). Wskazówki:

a) Jeśli funkcja f jest rózniczkowalna w jakimś punkcie przedziału [0, 1], to istnieje liczba M < ∞ taka, że dla odpowiednio dużych n istnieje 0 j n−3 taka, że |f((j+1)/n)−f(j/n)| M/n, |f((j+2)/n)−f((j+1)/n)| M/n oraz |f((j + 3)/n) − f((j + 2)/n)| M/n.

b) Wykaż, że Pr(|W_{(j+1)/n} − W_{j/n} | M/n, |W_{(j+2)/n} − W_{(j+1)/n} | M/n, |W_{(j+3)/n} − W_{(j+2)/n} | M/n) CMn^{−3/2} i wywioskuj stąd nieróżniczkowalność trajektorii na przedziale [0, 1].

1. Udowodnij, że jeśli zbiór A ∈ B(ℝ^{T}) to istnieje zbiór przeliczalny T_{0} ⊂ T taki, że jeśli x, y ∈ ℝ^{T} oraz x(t) = y(t) dla t ∈ T_{0} to x ∈ A ⇔ y ∈ A.

2. Niech T = [a, b] a < t_{0} < b, wykaż, że następujące zbiory nie należą do B(ℝ^{T}). A_{1} = {x ∈ ℝ^{T}: sup_{t∈[a,b]} |x_{t}| 1}; A_{2} = {x ∈ ℝ^{T}: t → x_{t} ciągłe na [a,b]}; A_{3} = {x ∈ ℝ^{T}: lim_{t→t_{0}} x_{t} = 0}: A_{4} = {x ∈ ℝ^{T}: t → x_{t} ciągłe wt_{0}}. Wykaż mierzalność tych zbiorów przy założeniu ciągłości (prawostronnej ciągłości) trajektorii tzn. wykaż, że wszystkie te zbiory po przecięciu z C(T) (RC(T) odp.) należą do B(ℝ^{T}) ∩ C(T) (B(ℝ^{T}) ∩ RC(T) odp.).

3. Niech T = [a, b]. Wykaż, że F = {A∩C(T): A ∈ B(ℝ^{T})} jest sigma ciałem zbiorów borelowskich (w metryce supremum) na C(T).

4. Wykaż, że istnieje proces (X_{t})_{t 0} o przyrostach niezależnych, startujący z 0 taki, że X_{t} − X_{s} ma rozkład Cauchy’ego z parametrem t − s (proces taki nazywamy procesem Cauchy’ego, bądź procesem 1-stabilnym).

5. Proces X jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu X:

a) niezależność przyrostów,

b) stacjonarność przyrostów,

c) ciągłość trajektorii,

d) lim_{t→∞} \frac{X_{t}}{t} = 0 p.n.

e) lim_{t→∞} \frac{X_{t}}{t} = 0 według prawdopodobieństwa?

6. Rozpatrzmy następujące 3 własności procesów:

a) ciągłość trajektorii;

b) stochastyczną ciągłość (tzn. X_{t} →^{ℙ} X_{s} gdy t → s);

c) ciągłość wg p-tego momentu (tzn. 𝔼|X_{t} − X_{s}|^{p} → 0 gdy t → s). Jakie implikacje zachodzą między powyższymi własnościami?

Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 3

1. Wykaż, że trajektorie procesu Wienera nie są lokalnie 1/2-hölderowskie.

2. Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli 𝔼|X_{t} − X_{s}|^{2} = |t − s|^{2α} (można wykazać, że taki proces istnieje dla 0 < α < 1). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

3. Załóżmy, że T jest przedziałem i określmy:

F_{t+} := ⋂_{s>t} F_{s}, F_{t−} := σ( ⋃_{s<t} F_{s}) .

a) Wykaż, że filtracja F_{t+} jest prawostronnie ciągła, tzn. F_{t++} = F_{t+} .

b) Udowodnij, że jeśli F_{t} = F_{t}^{X} jest filtracją generowaną przez proces X o lewostronnie ciągłych trajektoriach, to F_{t−} = F_{t}.

c) Niech T = [0, ∞), A ∈ F oraz X_{t} = (t − 1)^{+} I_{A}. Znajdź F_{t}^{X}.

d) Dla X jak w punkcie c) określmy τ := inf{t: X_{t} > 0}. Wykaż, że τ nie jest momentem zatrzymania względem F_{t}^{X} ale jest momentem zatrzymania względem F_{t+}^{X} .

4. Załóżmy, że T jest przedziałem, wykaż, że:

a) jeśli τ jest momentem zatrzymania, to {τ < t} ∈ F_{t} dla wszystkich t b) jeśli {τ < t} ∈ F_{t} dla wszystkich t, to τ jest momentem zatrzymania względem F_{t+} .

5. Niech T = [0, ∞), a τ będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych τ + 1, τ^{2}, τ − 1 muszą być momentami zatrzymania?

6. Niech T = [0, ∞), a X_{t} procesem F_{t}-adaptowalnym o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że dla A otwartego τ_{A} := inf{t: X_{t} ∈ A} jest momentem zatrzymania względem F_{t+} .

7. Wykaż, że jeśli τ i σ są momentami zatrzymania, to τ ∧ σ jest momentem zatrzymania, F_{τ∧σ} = F_{τ} ∩ F_{σ} oraz zdarzenia {τ < σ}, {τ = σ} i {τ σ} należą do F_{τ}, F_{σ} i F_{τ∧σ} .

8. Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania, to proces X_{t} := I_{[0,τ)}(t) jest progresywnie mierzalny.

9. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem (F_{t})_{t∈T} , a (X_{t}) będzie procesem F_{t}-adaptowalnym. Wykaż, że

a) τ jest F_{τ}-mierzalne

b) Jeśli τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to X_{τ} jest F_{τ} mierzalny na zbiorze τ < ∞.

10. Wykaż, że jeśli σ jest momentem zatrzymania, τ σ oraz τ jest F_{σ} mierzalny, to τ jest momentem zatrzymania.

11. Wykaż, że jeśli proces X_{t} ma niezależne przyrosty i prawostronnie ciągłe trajektorie, to dla s < t zmienna X_{t} − X_{s} jest niezależna od F_{s+}^{X} .

1. Załóżmy, że N_{t} jest procesem Poissona, tzn. procesem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że N_{0} = 0, N ma przyrosty niezależne, oraz N_{t} − N_{s} ∼ Poiss(t − s) dala t > s. Wykaż, że (N_{t} − λt)_{t 0} oraz ((N_{t} − λt)^{2} − λt)_{t 0} są martyngałami względem (F_{t}^{N})_{t 0}

2. Wykaż, że (exp(λW_{t} − \frac{λ^{2} t}{2} ), F_{t}^{W})_{t 0} jest martyngałem dla dowolnego λ ∈ ℝ.

3. Niech W_{t} będzie n-wymiarowym procesem Wienera, a f funkcją harmoniczną na ℝ^{n} taką, że 𝔼|f(W_{t})| < ∞ dla wszystkich t. Wykaż, że (f(W_{t}), F_{t}^{W})_{t 0} jest martyngałem.

4. (Prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera) Wykaż, że a) lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} = 1 p.n.

b) lim inf_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} = −1 p.n.

Wskazówki:

i) Niech C > 1 oraz u > C^{1/2} . Wykaż, że

∑_{n} Pr( sup_{C^{n} t C^{n+1}} W_{t} u\sqrt{2C^{n} lnlnC^{n}}) < ∞

i wywnioskuj stąd, że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} u p.n. ii) Wykaż, że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} 1 p.n. oraz lim inf_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} −1 p.n. iii) Udowodnij, że dla g ∼ N (0, 1) i t > 0,

\frac{1}{\sqrt{2π}} ( \frac{1}{t} − \frac{1}{t^{3}}) e^{−t^{2} /2} Pr(g t) \frac{1}{\sqrt{2π}t}e^{−t^{2} /2} .

iv) Wykaż, że dla C > 1 i u < 1

∑ Pr(W_{C^{n}} − W_{C^{n−1}} u\sqrt{1 − 1/C} \sqrt{2C^{n} lnlnC^{n}}) = ∞

i wywnioskuj stąd i z ii), że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} u(1 − 1/C)^{1/2} − C^{−1/2} p.n.

5. Udowodnij, że a) lim sup_{t→0+} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln(1/t)}} = 1 p.n.

b) lim inf_{t→0+} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln(1/t)}} = −1 p.n.

1. Które z podanych niżej warunków implikują jednostajną całkowalność ciągu X_{n}:

a) sup_{n} 𝔼|X_{n}| < ∞,

b) sup_{n} 𝔼|X_{n}|^{2} < ∞,

c) 𝔼 sup_{n} |X_{n}| < ∞,

d) zbieżność X_{n} w L_{1},

e) zbieżność X_{n} p.n.?

2. Wykaż, że martyngał M_{t} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2) jest zbieżny p.n. i znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w L_{1}?

3. Niech W_{t} = (W_{t}^{1}, …, W_{t}^{d}) będzie d wymiarowym procesem Wienera, a x_{0} ∈ ℝ^{d} oraz d > 2.

a) Wykaż, że |W_{t} − x_{0}|^{2−d} jest nieujemnym nadmartyngałem.

b) Udowodnij, że |W_{t} − x_{0}|^{2−d} zbiega przy t → ∞ do 0 według prawdopodobieństwa i p.n. i wywnioskuj stąd, że lim_{t→∞} |W_{t}| = ∞ p.n..

c) Wykaż, że dla prawostronnie ciągłego nadmartyngału (X_{t})_{t a} zachodzi

∀_{λ>0} λ Pr(sup_{t a}X_{t} λ) sup_{t}𝔼X_{t}^{−} + 𝔼X_{a}.

d) Wykaż, że Pr(∃_{t>0} W_{t} = x_{0}) = 0.

4. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem F_{t}^{W}.

a) Wykaż, że (W_{τ∧n} , F_{τ∧n} )_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

b) Udowodnij, że jeśli 𝔼τ < ∞, to 𝔼 sup_{n} W_{τ∧n}^{2} < ∞.

c) Wykaż, że jeśli 𝔼τ < ∞, to 𝔼W_{τ}^{2} = 𝔼τ i 𝔼W_{τ} = 0.

5. Niech W_{t} będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz

τ_{a} := inf{t > 0: W_{t} = a}, τ̃_{a} := inf{t > 0: |W_{t}| = a}.

Rozpatrując martyngały W_{t} i W_{t}^{2} − t wykaż, że

a) τ_{a} < ∞ p.n. dla wszystkich a ∈ ℝ,

b) Pr(τ_{a} < τ_{−b} ) = \frac{b}{a+b} dla a, b > 0,

c) 𝔼τ̃_{a} = a^{2} dla a 0,

d) 𝔼τ_{a} ∧ τ_{−b} = ab dla a, b > 0,

e) 𝔼τ_{a} = ∞ dla wszystkich a ≠ 0.

6. Rozpatrując martyngały M_{t}^{λ} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2) oraz N_{t}^{λ} = (M_{t}^{λ} + M_{t}^{−λ} )/2 wykaż, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania, dla wszystkich a, λ 0,

a) 𝔼e^{−λτ_{a}} = e^{−a\sqrt{2λ}} ,

b) 𝔼e^{−λτ̃_{a}} = (cosh(a\sqrt{2λ}))^{−1} .

7. Załóżmy, że h jest niemalejącą funkcją ciągłą na przedziale [a, b]. Udowodnij, że

a) Jeśli g ma wahanie skończone, to g ∘ h też ma wahanie skończone

b) Jeśli ∫_{h(a)}^{h(b)} fdg istnieje, to

∫_{a}^{b}f(h(t))dg(h(t)) = ∫_{h(a)}^{h(b)} f(s)dg(s).

8. Załóżmy, że f, g, h: [a, b] → ℝ, przy czym f i g są ciągłe, a h ma wahanie skończone. Udowodnij, że

a) H(x) = ∫_{a}^{x} g(t)dh(t) ma wahanie skończone na [a, b].

b) ∫_{a}^{b}fdH = ∫_{a}^{b}fgdh.

9. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na [a, b] zachodzi ∫_{a}^{b}f(s)df(s) = \frac{1}{2}(f^{2}(b) − f^{2}(a)).

10. Oblicz granice w L_{2}(Ω) przy n → ∞ a) ∑ _{k=0}^{n−1} W_{tk/n} (W_{t(k+1)/n} − W_{tk/n} )

b) ∑ _{k=0}^{n−1} W_{t(k+1)/n} (W_{t(k+1)/n} − W_{tk/n} ).

Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 6 1. Oblicz Cov(∫_{0}^{s} h_{1}(t)dW_{t}, ∫_{0}^{s} h_{2}(t)dW_{t}) dla h_{1}, h_{2} ∈ L_{2}([0, s]).

2. Niech C_{p} := (𝔼|W_{1}|^{p})^{1/p}. Wykaż, że dla 0 < p < ∞, przekształcenie h → C_{p}^{−1} ∫_{0}^{T} h(t)dW_{t} jest izometrycznym włożeniem L_{2}([0, T]) w L_{p}(Ω).

3. Wykaż, że dla 0 u < t i h ∈ L_{2}([0, t]) zachodzi

∫_{0}^{u} h(s)dW_{s} = ∫_{0}^{t} h𝟙_{[0,u]}(s)dW_{s} p.n.

4. Wykaż, że dla h ∈ C^{1}[0, t] zachodzi

∫_{0}^{t} h(s)dW_{s} = h(t)W_{t} − ∫_{0}^{t} h′(s)W_{s}ds p.n.

5. Wykaż, że proces

Y_{t} = \{ \begin{matrix}(1 − t) ∫_{0}^{t} \frac{1}{1−s} dW_{s} & 0 t < 1 \\ 0 & t = 1 \end{matrix}

ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Z_{t} = W_{t} − tW_{1} (most Browna).

1. Wykaż, że jeśli X ∈ L_{T}^{2}, 0 t s T oraz ξ jest ograniczoną zmienną losową F_{t} mierzalną to ξXI_{(t,s]} ∈ L_{T}^{2} oraz ∫_{t}^{s} ξXdW = ξ ∫_{t}^{s} XdW (Uwaga: ∫_{t}^{s} XdW definiujemy jako ∫_{0}^{T} 𝟙_{(s,t]} XdW).

2. Wykaż, że jeśli 0 < t_{1} < … < t_{m} < T oraz ξ_{k} są zmiennymi losowymi w L^{2}(Ω), F_{t_{k}} mierzalnymi to proces X := ∑ _{k=1}^{m−1} ξ_{k}𝟙_{(t_{k} ,t_{k+1} ]} należy do L_{T}^{2} oraz ∫_{0}^{t} XdW = ∑ _{k=1}^{m−1} ξ_{k}(W_{t_{k+1} ∧t} − W_{t_{k} ∧t} ).

3. Załóżmy, że X jest procesem prognozowalnym, ciągłym w L^{2} (tzn. t → X_{t} jest ciągła z [0, T] w L^{2}(Ω)). Wykaż, że wówczas X ∈ L_{T}^{2} oraz dla dowolnego ciągu podziałów 0 = t_{0}^{(n)} t_{1}^{(n)} … t_{k_{n}}^{(n)} = T o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla t T

∑_{k=0}^{k_{n} −1} X_{t_{k}^{(n)}} (W_{t_{k+1}^{(n)}} − W_{t_{k}^{(n)}} ) → ∫_{0}^{T} XdW

w L^{2}(Ω) przy n → ∞.

4. Oblicz ∫_{0}^{t} W_{s}dW_{s}.

5. Niech τ będzie momentem zatrzymania takim, że 𝔼τ < ∞. Wykaż, że 𝟙_{[0,τ]} ∈ L_{∞}^{2} oraz ∫_{0}^{∞} 𝟙_{[0,τ]}(s)dW_{s} = W_{τ}. Wywnioskuj stąd, że 𝔼W_{τ} = 0 oraz 𝔼W_{τ}^{2} = 𝔼τ.

6. Dla a, b > 0 określmy τ := inf\{t : |W_{t}| = a\sqrt{b + t}\}. Wykaż, że τ < ∞ p.n. oraz 𝔼τ < ∞ wtedy i tylko wtedy gdy a < 1. Ponadto dla a < 1, 𝔼τ = \frac{a^{2} b}{1−a^{2}} .

7* Niech ξ będzie zmienną losową o skończonej wariancji taką, że 𝔼ξ = 0. Wykaż, że istnieje moment zatrzymania τ taki, że W_{τ} ma ten sam rozkład co ξ oraz 𝔼τ = 𝔼ξ^{2}.

8. Załóżmy, że M jest adaptowalnym, prawostronnie ciągłym procesem takim, że M_{0} = 0 i dla wszystkich t, 𝔼|M_{t}| < ∞. Wykaż, że M jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy 𝔼M_{τ} = 0 dla wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania τ.

9. Wykaż, że dla X ∈ L_{T}^{2}, M := (∫ X dW)^{2} − ∫ X^{2} ds jest martyngałem.

1. Niech A będzie pewną klasą procesów adaptowalnych na [0, T) taką, że jeśli X ∈ A to X^{τ} ∈ A dla dowolnego momentu zatrzymania τ. Przez A_{loc} oznaczamy wówczas klasę tych procesów adaptowalnych na [0, T) dla których istnieje rosnący ciąg momentów zatrzymania τ_{n} taki, że τ_{n} → T oraz X^{τ_{n}} ∈ A dla wszystkich n.

a) Wykaż, że jeśli X ∈ A_{loc} to X^{τ} ∈ A_{loc} dla dowolnego momentu zatrzymania τ

b) Wykaż, że (A_{loc})_{loc} = A_{loc}

c) Wykaż, że jeśli A jest liniowa to A_{loc} też jest liniowa.

2. Wykaż, że M − M_{0} ∈ M_{loc}^{c} wtedy i tylko wtedy, gdy M − M_{0} ∈ M_{loc}^{2,c}.

3. a) Wykaż, że każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest martyngałem.

b) Wykaż, że każdy nieujemny całkowalny ciągły martyngał lokalny jest nadmartyngałem.

c) Podaj przykład nieujemnego całkowalnego ciągłego martyngału lokalnego, który nie jest martyngałem.

4. Niech X ∈ Λ_{T}^{2}, 0 t < s T oraz ξ będzie zmienną losową F_{t_{1}} mierzalną (niekoniecznie ograniczoną). Wykaż, że ξX𝟙_{(t,s]} ∈ Λ_{T}^{2} oraz ∫_{t}^{s} ξXdW = ξ ∫_{t}^{s} XdW.

5. Niech M ∈ M_{loc}^{2,c} oraz X ∈ Λ_{T}^{2}(M). Wykaż, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi

(∫ XdM)^{τ} = ∫ XdM^{τ} = ∫ X𝟙_{[0,τ]}dM = ∫ X𝟙_{[0,τ]}dM^{τ}.

W szczególności jeśli procesy X i Y pokrywają się na przedziale [0, τ], to (∫ XdM)^{τ} = (∫ Y dM)^{τ}.

1. Niech X będzie martyngałem lokalnym takim, że |X_{t}| Y dla wszystkich t oraz 𝔼Y < ∞. Wykaż, że X jest martyngałem.

2. Wykaż, że każdy ciągły martyngał lokalny M = (M_{t})_{t<T} , którego trajektorie mają skończone wahanie na każdym przedziale [0, t] jest stale równy M_{0}.

3. Niech M = ∫ W_{t}^{2}dW_{t}. Oblicz 𝔼M_{s}^{2}. Jak wygląda przestrzeń L_{T}^{2}(M)? Czy W_{t}^{−1} należy do tej przestrzeni?

4. Niech M, N ∈ M_{loc}^{c} oraz X ∈ Λ_{T}^{2}(M) ∩ Λ_{T}^{2}(N). Uzasadnij, że X ∈ Λ_{T}^{2}(aM + bN) dla a, b ∈ ℝ oraz ∫ Xd(aM + bN) = a ∫ XdM + b ∫ XdN.

5. Oblicz ⟨W^{1}, W^{2}⟩, gdzie W^{1}, W^{2} są niezależnymi procesy Wienera.

6. Udowodnij, że a) ⟨M, M⟩ = ⟨M⟩ = ⟨−M⟩,

b) ⟨M, N⟩ = ⟨N, M⟩,

c) ⟨M − M_{0}, N⟩ = ⟨M, N − N_{0}⟩ = ⟨M − M_{0}, N − N_{0}⟩ = ⟨M, N⟩,

d) (N, M) → ⟨M, N⟩ jest przekształceniem dwuliniowym,

e) ⟨M^{τ}, N^{τ}⟩ = ⟨M^{τ}, N⟩ = ⟨M, N^{τ}⟩ = ⟨M, N⟩^{τ},

f) Jeśli M ∈ M_{loc}^{2,c}, X, Y ∈ Λ_{T}^{2}(M) oraz N_{1} = ∫ X dM, N_{2} = ∫ Y dM, to ⟨N_{1}, N_{2}⟩ = ∫ XY d⟨M⟩.

g) Jeśli M_{1}, M_{2} ∈ M_{loc}^{2,c}, X ∈ Λ_{T}^{2}(M_{1}) ∩ Λ_{T}^{2}(M_{2}) oraz N_{i} = ∫ X dM_{i} to ⟨N_{1}, N_{2}⟩ = ∫ X^{2}d⟨M_{1}, M_{2}⟩.

7. Wykaż, że a) |⟨M, N⟩| ⟨M⟩⟨N⟩

b) Wah_{[}s, t](⟨M, N⟩) \frac{1}{2}[⟨M⟩_{t} − ⟨M⟩_{s} + ⟨N⟩_{t} − ⟨N⟩_{s}].

1. Określamy

S_{n}(α) = ∑_{k=n}^{3n−1} | ∫_{k/n}^{(k+1)/n} W_{s}^{4}dW_{s} |^{α} .

a) Wykaż, że ciąg S_{n}(2) jest zbieżny w L_{1} i zidentyfikuj jego granicę.

b) Co można powiedzieć o zbieżności według prawdopodobieństwa ciągu S_{n}(α) dla α ≠ 2?

2. Wykaż, że dla dowolnego procesu M ∈ M_{loc}^{c}, X ∈ Λ_{2}^{T}(M) oraz momentu zatrzymania τ T,

𝔼 sup_{t<τ}( ∫_{0}^{t} X dM)^{2} 4𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} d⟨M⟩_{s}.

3. Załóżmy, że M ∈ M_{loc}^{c}, M_{0} = 0 zaś τ jest momentem zatrzymania takim, że 𝔼⟨M⟩_{τ} < ∞. Wykaż, że M^{τ} jest martyngałem.

4. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw ∫ W_{s}^{2}dW_{s} jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych.

5. Załóżmy, że X jest procesem ciągłym, a Z ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że jeśli t < T, Π_{n} = (t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} ) jest ciągiem podziałów [0, t] takim, że 0 = t_{0}^{(n)} t_{1}^{(n)} … t_{k_{n}}^{(n)} = t oraz diam(Π_{n}) → 0, to

∑_{k=0}^{k_{n} −1} X_{t_{k}^{(n)}} (Z_{t_{k+1}^{(n)}} − Z_{t_{k}^{(n)}} ) → ∫_{0}^{t} X_{s}dZ_{s} według prawdopodobieństwa.

1. Korzystając ze wzoru Itô oblicz ⟨W_{t}^{2}⟩ oraz ⟨W_{t}, e^{W_{t}} ⟩.

2. Niech f będzie funkcją klasy C^{2} na ℝ^{2}, korzystając z wzoru Itô oblicz df(t, W_{t}) oraz df(tW_{t}).

3. Niech Z_{t} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2). Wykaż, że dZ_{t} = λZ_{t}dW_{t} tzn. Z_{t} = 1 + λ ∫_{0}^{t} Z_{s}dW_{s}.

4. Wykaż, że ciąg

S_{n} = ∑_{k=1}^{3n} \frac{k}{n}W_{k/n}^{3} (W_{k/n} − W_{(k−1)/n} )

jest zbieżny według prawdopodobieństwa i znajdź jego granicę.

5. Niech σ = (σ_{i,j} )_{1 i m,1 j d} będzie macierzą procesów z Λ^{2}. Określamy wówczas ∫ σdW jako m wymiarowy proces (∑ _{j=1}^{d} σ_{1j} dW_{j} , …, ∑ _{j=1}^{d} σ_{mj} dW_{j}). Niech Z = (Z_{1}, …, Z_{m}) = ∫ σdW + ∫ bdt, gdzie b = (b_{1}(t), …, b_{m}(t)) proces m wymiarowy ciągły, adaptowalny. Dla f: ℝ^{d} → ℝ klasy C^{2} oblicz korzystając z wzoru Itô df(Z).

6. Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że proces N_{t} = exp(M_{t} − \frac{1}{2}⟨M⟩_{t}) jest ciągłym martyngałem lokalnym oraz nadmartyngałem. Ponadto jeśli M jest ograniczony, to N jest martyngałem.

7. Niech g: ℝ^{d} → ℝ będzie funkcją klasy C^{2}, G zbiorem otwartym ograniczonym w ℝ^{d} oraz x ∈ G. Określmy τ := inf{t: W_{t} + x ∉ G}. Korzystając ze wzoru Itô wykaż, że jeśli g jest harmoniczna w G to h(W_{t}^{τ} + x) jest martyngałem. Pokaż, że wystarczy zakładać, iż g jest C^{2} w pewnym otoczeniu domknięcia G.

8. Wykaż, że dla 3-wymiarowego ruchu Browna W_{t} i a ∈ ℝ^{3}, a ≠ 0 proces X_{t} = |W_{t} − a|^{−1} jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. Ponadto X_{t} jest nadmartyngałem oraz zbiega do 0 w L^{1} i prawie na pewno.

9. Wykaż, że 2-wymiarowego ruchu Browna W_{t} i a ∈ ℝ^{2}, a ≠ 0 proces X_{t} = ln|W_{t}−a| jest martyngałem lokalnym. Wywnioskuj stąd, że z prawdopodobieństwem 1 proces W_{t} omija punkt a, ale trajektoria procesu jest dowolnie bliska punktu a.

1. Załóżmy, że W = (W^{(1)}, W^{(2)}, W^{(3)}) jest trójwymiarowym procesem Wienera oraz

X_{t} := ∫_{0}^{t} sin(W_{t}^{(3)})dW_{t}^{(1)} + ∫_{0}^{t} cos(W_{t}^{(3)})dW_{t}^{(2)}.

Wykaż, że X jest procesem Wienera.

2. Niech W = (W^{1}, …, W^{d}) będzie d-wymiarowym ruchem Browna, a R_{t} = |W_{t}s|. Wykaż, że

a) B_{t} := ∑ _{j=1}^{d} ∫_{0}^{t} \frac{W_{s}^{(i)}}{R_{s}} dW_{s}^{i} jest jednowymiarowym procesem Wienera;

b) R_{t} = ∫_{0}^{t} \frac{d−1}{2R_{s}} ds + B_{t} (R_{t} jest nazywane procesem Bessela.)

3. Wykaż, że dla a > 0 proces X_{t} = ξe^{bt} + \sqrt{a}∫_{0}^{t} e^{b(t−s)} dW_{s} jest jedynym rozwiązaniem równania dX_{t} = bX_{t}dt+\sqrt{a}dW_{t} z warunkiem początkowym X_{0} = ξ. Jeśli b < 0 oraz ξ ma rozkład N (0, \frac{−a}{2b} ) to X_{t} jest procesem stacjonarnym (proces Ornsteina-Uhlenbecka)

4. i) Wykaż, że dla x, σ, b ∈ ℝ istnieje dokładnie jeden proces X = (X_{t})_{t 0} taki, że

X_{t} = x + σ ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s} + b ∫_{0}^{t} X_{s}ds.

Ponadto sup_{t u} 𝔼X_{t}^{2} < ∞ dla u < ∞. ii) Oblicz 𝔼X_{t}. iii) Znajdź stochastyczne równania różniczkowe spełnione przez X^{2} + t i e^{X}.

5. Wykaż, że rozwiązanie równania dX = e^{−X} dW − \frac{1}{2}e^{−2X} dt eksploduje w skończonym czasie. (Wsk. Rozpatrz proces Y = e^{X}).

6. Znajdź taką miarę probabilistyczną ℚ na (Ω, F_{1}^{W} ), by proces (W_{t}+2t^{4})_{0 t 1} był procesem Wienera względem ℚ.

7. Niech T < ∞, U będzie procesem Wienera na (Ω, F, Pr),

Z_{t} = exp(∫_{0}^{t} b(s, U_{s})dU_{s} − ∫_{0}^{t} b^{2}(s, U_{s})ds/2), W_{t} := U_{t} − ∫_{0}^{t} b(s, U_{s})ds.

Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli 𝔼Z_{T} = 1 to istnieje miara probabilistyczna ℚ_{T} taka, że na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, ℚ_{T}) para (W_{t})_{0 t T} jest procesem Wienera oraz

dU_{t} = b(t, U_{t})dt + dW_{t}, 0 t T, U_{0} = 0.  (1)