Zadania z Procesów Stochastycznych 1

Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N_{t})_{t 0} taki, że

N_{0} = 0;  (P0)
N ma przyrosty niezależne;  (P1)

(tzn. dla dowolnych t_{0} t_{1} … t_{n} zmienne N_{t_{0}} , N_{t_{1}} −N_{t_{0}} , N_{t_{2}} −N_{t_{1}} , …, N_{t_{n}} − N_{t_{n−1}} są niezależne)

Dla 0 s t zmienna N_{t} − N_{s} ma rozkład Poiss(λ(t − s)) ;  (P2)
Trajektorie N są prawostronnie ciągłe.  (P3)

1. Oblicz P(N_{1} = 1, N_{2} = 4, N_{4} = 5) oraz P(N_{1} = N_{2} < N_{3} − 1).

2. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z ℤ_{+} , mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

3. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona

S_{1} := inf{t : N_{t} > 0}

jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

4. Niech

S_{k} := inf{t : N_{t} = k}

będzie momentem k-tego skoku w procesie Poissona. Wykaż, że odstępy między skokami

T_{1} = S_{1}, T_{2} = S_{2} − S_{1}, T_{3} = S_{3} − S_{2}, …

są zmiennymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym.

5. Udowodnij, że lim_{t→∞} \frac{N_{t}}{t} = λ p.n.

6. Niech N_{t}^{(1)} i N_{t}^{(2)} będą niezależnymi procesami Poissona. Wykaż, że N_{t}^{(1)}+ N_{t}^{(2)} jest procesem Poissona

7. Liczba wyświetleń pewnej strony internetowej do chwili t – N_{t} jest procesem Poissona z intensywnością λ. Każde wyświetlenie z prawdopodobieństwem p jest dokonywane spoza Polski (niezależnie dla każdego wyświetlenia i niezależnie od procesu N). Niech N_{t}^{(1)} będzie liczbą wyświetleń strony spoza Polski, a N_{t}^{(2)} z Polski. Wykaż, że N_{t}^{(1)} i N_{t}^{(2)} są niezależnymi procesami Poissona.

8. Załóżmy, że X = (X_{t})_{t 0} jest procesem stratującym z zera, przyjmującym wartości całkowite nieujemne, o niezależnych, stacjonarnych przyrostach i prawostronnie ciągłych i niemalejących trajektoriach. Ponadto załóżmy, że

P(X_{t} = 1) = λt + o(t), P(X_{t} 2) = o(t) przy t → 0 + .

Wykaż, że X jest procesem Poissona.

9. (Złożony proces Poissona) Załóżmy, że N jest procesem Poissona, a Y_{1}, Y_{2}, … jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, niezależnym od N. Niech

X_{t} = \{ \begin{matrix}∑ _{k=1}^{N_{t}} Y_{k} & jeśli N_{t} > 0 \\ 0 & jeśli N_{t} = 0. \end{matrix}

Wykaż, że X jest procesem o niezależnych i stacjonarnych przyrostach.

1. Udowodnij, że następujące procesy też są procesami Wienera a) X_{t} = −W_{t} (odbicie)

b) Y_{t} = c^{−1/2} W_{ct}, c > 0 (przeskalowanie czasu)

c) Z_{t} = tW_{1/t} dla t > 0 oraz Z_{0} = 0 (inwersja czasu)

d) U_{t} = W_{T +t} − W_{T}, T 0

e) V_{t} = W_{t} dla t T, V_{t} = 2W_{T} − W_{t} dla t > T, gdzie T 0.

2. Udowodnij, że lim_{t→∞} \frac{W_{t}}{t} = 0 p.n.

3. Niech π_{n} = {t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} }, gdzie a = t_{0}^{(n)} < t_{1}^{(n)} < … < t_{k_{n}}^{(n)} = b będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz ∥π_{n}∥ = max_{k} |t_{k}^{(n)} − t_{k−1}^{(n)} | oznacza średnicę π_{n}. Udowodnij, że

S_{n} = ∑_{k=1}^{k_{n}} |W_{t_{k}^{(n)}} − W_{t_{k−1}^{(n)}} |^{2} → b − a, n → ∞ w L^{2}(Ω, F, P),

jeśli ∥π_{n}∥ → 0 oraz S_{n} → b − a p.n., jeśli ∑ _{n} ∥π_{n}∥ < ∞.

4. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale.

5. Wykaż, że jeśli proces stochastyczny X = (X_{t})_{t 0} ma przyrosty niezależne i stacjonarne, trajektorie ciągłe, X_{0} = 0, EX_{1} = 0, EX_{1}^{2} = 1 oraz EX_{t}^{4} < ∞ dla wszystkich t, to X jest procesem Wienera.

6. Niech f_{i}(t) będzie dowolną bazą L_{2}[0, 1], h_{i}(t) = ∫_{0}^{t} f_{i}(s)ds oraz niech g_{i} będzie ciągiem niezależnych zmiennych N (0, 1). Wykaż, że szereg X_{t} = ∑ _{i} g_{i}h_{i}(t) jest zbieżny w L^{2} dla dowolnego t ∈ [0, 1] oraz X_{t} ma te same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Wienera.

7. Niech I(0) = {1}, I(n) = {1, …, 2^{n−1} }, n = 1, 2, . . .. Układem Haara nazywamy rodzinę funkcji (h_{n,k} )_{n=0,1,...,k∈I(n)} określonych na [0, 1] wzorami h_{0,1}(t) ≡ 1 oraz dla n = 1, 2, …, k ∈ I(n),

h_{n,k} (t) = \{ \begin{matrix}2^{\frac{n−1}{2}} & (2k − 2)2^{−n} t < (2k − 1)2^{−n} \\ −2^{\frac{n−1}{2}} & (2k − 1)2^{−n} t < 2k2^{−n} \\ 0 & w pozostałych przypadkach \end{matrix}

Układem Schaudera nazywamy rodzinę funkcji (S_{n,k} )_{n=0,1,...,k∈I(n)} określonych na [0, 1] wzorem S_{n,k} (t) = ∫_{0}^{t} h_{n,k} (s)ds. Niech (g_{n,k} )_{n=0,1,...,k∈I(n)} będzie rodziną niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie N (0, 1), połóżmy

W_{t}^{(n)} (ω) = ∑_{m=0}^{n} ∑_{k∈I(m)} g_{m,k} (ω)S_{m,k} (t).

Wykaż, że dla prawie wszystkich ω ∈ Ω ciąg funkcji (W_{t}^{(n)} (ω)) zbiega jednostajnie na [0, 1] do pewnej funkcji ciągłej W_{t}(ω). Jeśli określimy np. W_{t}(ω) = 0 dla pozostałych ω to tak zdefiniowany proces stochastyczny jest procesem Wienera na [0,1].

1. Udowodnij, że jeśli zbiór A ∈ B(ℝ^{T}) to istnieje zbiór przeliczalny T_{0} ⊂ T taki, że jeśli x, y ∈ ℝ^{T} oraz x(t) = y(t) dla t ∈ T_{0} to x ∈ A ⇔ y ∈ A.

2. Niech T = [a, b] a < t_{0} < b, wykaż, że następujące zbiory nie należą do B(ℝ^{T}). A_{1} = {x ∈ ℝ^{T}: sup_{t∈[a,b]} |x_{t}| 1}; A_{2} = {x ∈ ℝ^{T}: t → x_{t} ciągłe na [a,b]}; A_{3} = {x ∈ ℝ^{T}: lim_{t→t_{0}} x_{t} = 0}: A_{4} = {x ∈ ℝ^{T}: t → x_{t} ciągłe wt_{0}}. Wykaż mierzalność tych zbiorów przy założeniu ciągłości (prawostronnej ciągłości) trajektorii tzn. wykaż, że wszystkie te zbiory po przecięciu z C(T) (RC(T) odp.) należą do B(ℝ^{T}) ∩ C(T) (B(ℝ^{T}) ∩ RC(T) odp.).

3. Niech T = [a, b]. Wykaż, że F = {A∩C(T): A ∈ B(ℝ^{T})} jest sigma ciałem zbiorów borelowskich (w metryce supremum) na C(T).

4. Wykaż, że dla dowolnej rodziny miar probabilistycznych μ_{t} istnieje rodzina niezależnych zmiennych losowych X_{t} taka, że X_{t} ∼ μ_{t}.

5. Wykaż, że istnieje proces (X_{t})_{t 0} o przyrostach niezależnych, startujący z 0 taki, że X_{t} − X_{s} ma rozkład Cauchy’ego z parametrem t − s (proces taki nazywamy procesem Cauchy’ego, bądź procesem 1-stabilnym).

6. Proces X jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu X:

a) niezależność przyrostów,

b) stacjonarność przyrostów,

c) ciągłość trajektorii,

d) lim_{t→∞} \frac{X_{t}}{t} = 0 p.n.

e) lim_{t→∞} \frac{X_{t}}{t} = 0 według prawdopodobieństwa?

7. Rozpatrzmy następujące 3 własności procesów:

a) ciągłość trajektorii;

b) stochastyczną ciągłość (tzn. X_{t} →^{P} X_{s} gdy t → s);

c) ciągłość wg p-tego momentu (tzn. E|X_{t} − X_{s}|^{p} → 0 gdy t → s). Jakie implikacje zachodzą między powyższymi własnościami?

1. Wykaż, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są lokalnie hölderowskie z dowolnym wykładnikiem γ < 1/2.

2. Wykaż, że trajektorie procesu Wienera nie są lokalnie 1/2-hölderowskie

3. Wykaż, że trajektorie procesu Wienera z prawdopodobieństwem 1 nie są jednostajnie ciągłe na [0, ∞)

4. Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli E|X_{t} − X_{s}|^{2} = |t − s|^{2α} (można wykazać, że taki proces istnieje dla 0 < α < 1). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

5. Pokaż, że jeśli X_{λ} ∼ Poiss(λ) i λ 1 to dla dowolnego p > 0, E|X_{λ}|^{p} C_{p}λ, gdzie C_{p} = E|X_{1}|^{p} < ∞. Wywnioskuj stąd, że w Twierdzeniu o ciągłej modyfikacji założenie β > 0 jest istotne.

6. Policz funkcję kowariancji mostu Browna W_{t} − tW_{1}.

7. Wykaż za pomocą funkcji kowariancji, że procesy z zadania 7 z 1 serii są procesami Wienera.

8. Wykaż, że proces gaussowski ma przyrosty niezależne wtedy i tylko wtedy gdy jego funkcja kowariancji spełnia K(t, u) = K(s, u) dla t, s u (czyli K(t, s) = φ(t ∧ s) dla pewnej funkcji φ).

9. Mówimy, że proces stochastyczny X = (X_{t}) jest stacjonarny jeśli dla dowolnego h proces X ma ten sam rozkład co X^{(h)} := (X_{t+h} ). Wykaż, że scentrowany proces gaussowski jest stacjonarny wtedy i tylko wtedy gdy K(t + h, s + h) = K(t, s) dla wszystkich t, s, h (czyli K(t, s) = φ(|t − s|) dla pewnej funkcji φ).

10. Wykaż, że proces Ornsteina-Uhlenbecka G_{t} = e^{−t} W_{e^{2t}} jest procesem stacjonarnym.

1. Które z następujących procesów są gaussowskie:

a)W_{3t}; b)|W_{t}|; c)tW_{t} + W_{1}; d)W_{t}I_{W_{t} 0} ; e)W_{t}W_{t−1} ; f)t^{2} + W_{4t}?

2. Czy proces (W_{t}1_{W_{t} ≠1} )_{t 0} a) ma ciągłe trajektorie, b) ma modyfikację ciągłą, c) jest nieodróżnialny od procesu ciągłego, d)jest procesem gaussowskim?

3. Niech f = ∑ _{i=1}^{n} a_{i}I_{[t_{i−1} ,t_{i} )}, gdzie 0 t_{0} < t_{1} < … < t_{n} będzie funkcją kawałkami stałą. Przyporządkujmy takiej funkcji zmienną I(f) = ∑ _{i=1}^{n} a_{i}(W_{t_{i}} − W_{t_{i−1}} ). Udowodnij, że:

a) I(f) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (0, σ_{f}^{2}), gdzie σ_{f}^{2} = ∫_{0}^{∞} f^{2}(x)dx.

b) Zmienne I(f_{1}), I(f_{2}) dla f_{1}, f_{2} postaci jak wyżej. mają łączny rozkład gaussowski oraz Cov(I(f_{1}), I(f_{2})) = ∫_{0}^{∞} f(x)g(x)dx.

c) Przekształcenie I rozszerza się do izometrii z L^{2}([0, ∞)) w L^{2}(Ω) i własności a) b) zachodzą dla f, f_{1}, f_{2} ∈ L^{2}([0, ∞)).

d) Przekształcenie I z punktu c) po przeskalowaniu przez odpowiednią stałą jest izometrycznym włożeniem L^{2}([0, ∞)) w L^{p}(Ω) dla dowolnego 1 p < ∞. Tak zdefiniowane I(f) nazywa się całką Wienera-Paleya i się często oznacza I(f) = ∫_{0}^{∞} f(s)dW_{s}.

4. Niech X_{1}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z dystrybuantą F. Niech

Y_{t}^{(n)} = \frac{#\{i: X_{i} t\}}{n} − F (t), n = 1, 2, . . ..

Wykaż, że skończenie wymiarowe rozkłady procesów \sqrt{n}Y^{(n)} zbiegają przy n → ∞ do rozkładu pewnego procesu gaussowskiego Z, wyznacz funkcję wartości średniej i kowariancję Z.

5. Wykaż, że trajektorie procesu Wienera z prawdopodobieństwem 1 przecinają zero dowolnie daleko.

Zadania z Procesów Stochastycznych 6

W poniższych zadaniach przyjmujemy, że (F_{t})_{t∈T} jest ustaloną filtracją, zaś τ zmienną losową o wartościach w T ∪ {∞}.

1. Dla T = {1, 2, …} wykaż, że τ jest momentem zatrzymania wtedy i tylko wtedy, gdy {τ = n} ∈ F_{n} dla n ∈ T.

2. Niech T = {1, 2, …}, Γ_{1}, Γ_{2}, … będą borelowskimi podzbiorami ℝ, a X_{n} ciągiem F_{n}-adaptowalnym. Określamy indukcyjnie dla i = 2, 3, …

τ_{1} := inf{n: X_{n} ∈ Γ_{1}} oraz τ_{i} := inf{n > τ_{i−1} : X_{n} ∈ Γ_{i}}.

Wykaż, że τ_{i} są momentami zatrzymania.

3. Załóżmy, że T jest przedziałem i określmy:

F_{t+} := ⋂_{s>t} F_{s}, F_{t−} := σ( ⋃_{s<t} F_{s}) .

a) Wykaż, że filtracja F_{t+} jest prawostronnie ciągła, tzn. F_{t++} = F_{t+} .

b) Udowodnij, że jeśli F_{t} = F_{t}^{X} jest filtracją generowaną przez proces X o lewostronnie ciągłych trajektoriach, to F_{t−} = F_{t}.

c) Niech T = [0, ∞), A ∈ F oraz X_{t} = (t − 1)^{+} I_{A}. Znajdź F_{t}^{X}.

d) Dla X jak w punkcie c) określmy τ := inf{t: X_{t} > 0}. Wykaż, że τ nie jest momentem zatrzymania względem F_{t}^{X} ale jest momentem zatrzymania względem F_{t+}^{X} .

4. Załóżmy, że T jest przedziałem, wykaż, że:

a) jeśli τ jest momentem zatrzymania, to {τ < t} ∈ F_{t} dla wszystkich t b) jeśli {τ < t} ∈ F_{t} dla wszystkich t, to τ jest momentem zatrzymania względem F_{t+} .

5. Niech T = [0, ∞), a τ będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych τ + 1, τ^{2}, τ − 1 muszą być momentami zatrzymania?

6. Niech T = [0, ∞), a X_{t} procesem F_{t}-adaptowalnym o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że dla A otwartego τ_{A} := inf{t: X_{t} ∈ A} jest momentem zatrzymania względem F_{t+} .

7. Wykaż, że jeśli τ i σ są momentami zatrzymania to zdarzenia {τ < σ}, {τ = σ} i {τ σ} należą do F_{τ}, F_{σ} i F_{τ∧σ} .

8. Wykaż, że jeśli τ jest momentem zatrzymania, to proces X_{t} := I_{[0,τ)}(t) jest progresywnie mierzalny.

9. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem (F_{t})_{t∈T} , a (X_{t}) będzie procesem F_{t}-adaptowalnym. Wykaż, że

a) τ jest F_{τ}-mierzalne

b) Jeśli τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to X_{τ} jest F_{τ} mierzalny na zbiorze τ < ∞.

10. Do założeń poprzedniego zadania dodajmy, że T jest przedziałem, a X jest prawostronnie ciągły. Udowodnij, że:

a) X jest progresywnie mierzalny,

b) X_{τ} jest F_{τ} mierzalny.

11. Wykaż, że jeśli σ jest momentem zatrzymania, τ σ oraz τ jest F_{σ} mierzalny, to τ jest momentem zatrzymania.

12. Niech X = (X_{t})_{t 0} będzie procesem o niezależnych przyrostach, zaś F_{t} filtracją generowaną przez X. Wykaż, że dla t > s zmienna X_{t} − X_{s} jest niezależna od sigma ciała F_{t}, a jeśli X ma prawostronnie ciągłe trajektorie, to również od F_{t+} .

1. Sprawdź, że następujące rodziny są martyngałami a) (N_{t} − λt, F_{t}^{N})_{t 0}

b) ((N_{t} − λt)^{2} − λt, F_{t}^{N})_{t 0}

c) (W_{t}, F_{t}^{W})_{t 0}

d) (W_{t}^{2} − t, F_{t}^{W})_{t 0}

c) (exp(λW_{t} − \frac{λ^{2} t}{2} ), F_{t}^{W})_{t 0} .

2. Wykaż, że dla t, u > 0,

P( sup_{0 s t} W_{s} u) exp( − \frac{u^{2}}{2t}) .

3. (Prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera) Wykaż, że a) lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} = 1 p.n.

b) lim inf_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} = −1 p.n.

Wskazówki:

i) Niech C > 1 oraz u > C^{1/2} . Wykaż, że

∑_{n} P( sup_{C^{n} t C^{n+1}} W_{t} u\sqrt{2C^{n} lnlnC^{n}}) < ∞

i wywnioskuj stąd, że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} u p.n. ii) Wykaż, że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} 1 p.n. oraz lim inf_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} −1 p.n. iii) Udowodnij, że dla g ∼ N (0, 1) i t > 0,

\frac{1}{\sqrt{2π}} ( \frac{1}{t} − \frac{1}{t^{3}}) e^{−t^{2} /2} P(g t) \frac{1}{\sqrt{2π}t}e^{−t^{2} /2} .

iv) Wykaż, że dla C > 1 i u < 1

∑ P(W_{C^{n}} − W_{C^{n−1}} u\sqrt{1 − 1/C} \sqrt{2C^{n} lnlnC^{n}}) = ∞

i wywnioskuj stąd i z ii), że lim sup_{t→∞} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln t}} u(1 − 1/C)^{1/2} − C^{−1/2} p.n.

4. Udowodnij, że a) lim sup_{t→0+} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln(1/t)}} = 1 p.n.

b) lim inf_{t→0+} \frac{W_{t}}{\sqrt{2t ln ln(1/t)}} = −1 p.n.

1. Załóżmy, że φ_{(}t) jest funkcją charakterystyczną symetrycznej zmiennej losowej X. Wykaż, że istnieje proces gaussowski, który ma funkcję kowariancji równą K(t, s) = φ(|t − s|).

2. Niech τ będzie momentem zatrzymania względem F_{t}^{W}.

a) Wykaż, że (W_{τ∧n} , F_{τ∧n} )_{n=1}^{∞} jest martyngałem.

b) Udowodnij, że jeśli Eτ < ∞ to E sup_{n} W_{τ∧n}^{2} < ∞.

c) Wykaż, że jeśli Eτ < ∞ to EW_{τ}^{2} = Eτ i EW_{τ} = 0.

3. Niech W_{t} będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz

τ_{a} := inf{t > 0: W_{t} = a}, τ̃_{a} := inf{t > 0: |W_{t}| = a}.

Rozpatrując martyngały W_{t} i W_{t}^{2} − t wykaż, że

a) τ_{a} < ∞ p.n. dla wszystkich a ∈ ℝ

b) P(τ_{a} < τ_{−b} ) = \frac{b}{a+b} dla a, b > 0.

c) Eτ̃_{a} = a^{2} dla a 0.

d) Eτ_{a} ∧ τ_{−b} = ab dla a, b > 0.

e) Eτ_{a} = ∞ dla wszystkich a ≠ 0

4. Rozpatrując martyngały M_{t}^{λ} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2) oraz N_{t}^{λ} = (M_{t}^{λ} + M_{t}^{−λ} )/2 wykaż, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania, dla wszystkich a, λ 0

a) Ee^{−λτ_{a}} = e^{−a\sqrt{2λ}}

b) Ee^{−λτ̃_{a}} = (cosh(a\sqrt{2λ}))^{−1} .

5. Wykaż, że martyngał M_{t}^{λ} z poprzedniego zadania jest zbieżny p.n. i znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w L^{1}?

6. Wykaż, że rodzina (X_{t})_{t∈T} jest jednostajnie całkowalna wtedy i tylko wtedy gdy zachodzą następujące dwa warunki:

i) sup_{t∈T} E|X_{t}| < ∞ ii) Dla każdgo ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że E|X_{t}|I_{A} < ε dla wszystkich t, jeśli P(A) < δ.

7. Które z podanych niżej warunków implikują jednostajną całkowalność ciągu X_{n}:

a) sup_{n} E|X_{n}| < ∞,

b) sup_{n} E|X_{n}|^{2} < ∞,

c) E sup_{n} |X_{n}| < ∞,

d) zbieżność X_{n} w L_{1},

e) zbieżność X_{n} p.n.?

1. Niech W_{t} = (W_{t}^{1}, …, W_{t}^{d}) będzie d-wymiarowym procesem Wienera. Wykaż, że (f(W_{t}), F_{t}^{W}) jest

a) martyngałem, jeśli f jest harmoniczna

b) nadmartyngałem, jeśli f jest nadharmoniczna

c) podmartyngałem, jeśli f jest podharmoniczna

2. a) Wykaż, że jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna na ℝ oraz f, f′, f′′są ograniczone, to

M_{t} = f(W_{t}) − f(W_{0}) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′(W_{u})du

jest martyngałem względem F_{t}^{W}.

b) Ogólniej, jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna na ℝ^{d}, pochodne cząstkowe f rzędu mniejszego niż 2 są ograniczone oraz W jest d-wymiarowym procesem Wienera, to

M_{t} = f(W_{t}) − f(W_{0}) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} ∑_{j=1}^{d} \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}^{2}} (W_{u})du

jest martyngałem względem F_{t}^{W}.

3. Niech W_{t} = (W_{t}^{1}, …, W_{t}^{d}) będzie d wymiarowym procesem Wienera, a x_{0} ∈ ℝ^{d} oraz d > 2.

a) Wykaż, że |W_{t} − x_{0}|^{2−d} jest nieujemnym nadmartyngałem

b) Udowodnij, że |W_{t} − x_{0}|^{2−d} zbiega przy t → ∞ do 0 według prawdopodobieństwa i p.n. i wywnioskuj stąd, że lim_{t→∞} |W_{t}| = ∞ p.n.

c) Wykaż, że P(∃_{t>0} W_{t} = x_{0}) = 0.

1. Załóżmy, że przestrzeń stanów E jest przeliczalna. Wykaż, że wówczas a) (X_{t})_{t∈T} jest procesem Markowa wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych t_{1} < t_{2} < … < t_{n} i k_{1}, …, k_{n} ∈ E takich, że P(X_{t_{1}} = k_{1}, …, X_{t_{n−1}} = k_{n−1} ) ≠ 0

P(X_{t_{n}} = k_{n}|X_{t_{1}} = k_{1}, …, X_{t_{n−1}} = k_{n−1} ) = P(X_{t_{n}} = k_{n}|X_{t_{n−1}} = k_{n−1} ).

b) (X_{t})_{t∈T} jest procesem Markowa z macierzą przejścia (p_{s,t} (k, l)) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych t_{1} < t_{2} < … < t_{n} i k_{1}, …, k_{n} ∈ E

P(X_{t_{1}} = k_{1}, …, X_{t_{n}} = k_{n})
= P(X_{t_{1}} = k_{1})p_{t_{1} ,t_{2}} (k_{1}, k_{2}) ⋯ p_{t_{n−1} ,t_{n}} (k_{n−1} , k_{n}).

2. Wykaż, że proces Poissona N_{t} jest procesem Markowa i znajdź macierz przejścia.

3. Wykaż, że proces (−1)^{N_{t}} jest procesem Markowa i znajdź macierz przejścia.

4. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi, zaś G-σ ciałem takim, że X jest G-mierzalne, zaś Y jest niezależne od G. Wykaż, że dla dowolnej funkcji f(x, y) mierzalnej i ograniczonej E(f(X, Y)|G) = φ(X) gdzie φ(x) = Ef(x, Y).

5. Korzystając z poprzedniego zadania udowodnij, że jeśli X = (X_{t}) jest procesem o przyrostach niezależnych to X jest procesem Markowa z funkcją przejścia P_{s,t} (x, Γ) = P(X_{t} − X_{s} ∈ Γ − x).

6. Załóżmy, że X_{1}, X_{2}, … są zmiennymi o jednakowym rozkładzie μ, S_{k} = ∑ _{n=1}^{k} X_{k}, M_{k} = max(X_{1}, …, X_{k}). Czy następujące procesy muszą być procesami Markowa, jeśli tak to znaleźć odpowiednie funkcje przejścia a) X_{1}, X_{2}, …

b) S_{0}, S_{1}, S_{2}, …

c) S_{0}^{+} , S_{1}^{+} , S_{2}^{+} , …

d) M_{1}, M_{2}, M_{3}, …

e) S_{0}, S_{0} ∨ S_{1}, S_{0} ∨ S_{1} ∨ S_{2}, …

f) (S_{n}, M_{n})_{n=1}^{∞} .

7. Czy procesy (|W_{t}|), (tW_{t^{2}} ) są procesami Markowa? Jeśli tak to znajdź funkcje przejścia.

1. Załóżmy, że przestrzeń stanów E = {1, 2}. Sprawdź równania Chapmana-Kołmogorowa dla macierzy

P^{t} = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 + 2e^{−4t} & 2 − 2e^{−4t} \\ 3 − 3e^{−4t} & 2 + 3e^{−4t} \end{matrix} ) .

2. Czy istnieją takie funkcje a(t), b(t), że

\frac{1}{7} ( \begin{matrix}a(t) & 3 − 3e^{−2t} \\ 4 − 4e^{−2t} & b(t) \end{matrix} ) .

jest macierzą przejścia dla pewnego jednorodnego procesu Markowa na dwuelementowej przestrzeni stanów?

3. Załóżmy, że dla s < t, P_{s,t} (x, ·) jest rozkładem normalnym o średniej m_{s,t} x i wariancji σ_{s,t}^{2} . Jakie warunki muszą spełniać m_{s,t} i σ_{s,t}^{2} by istniała rodzina Markowa o funkcji przejścia P_{s,t}?

4. Proces X_{t} jest jednorodnym procesem Markowa o gęstości przejścia p_{s}(x, y). Wówczas

i) dla t > 0, P_{0}(X_{t} 0) = ..........................., ii) dla s > t > 0, P_{0}(X_{s} > X_{t} > 0) = ..........................

5. Procesy X_{t} i Y_{t} są procesami Markowa, czy z tego wynika, że proces (X_{t}, Y_{t}) też jest procesem Markowa?

6. Czy dla każdej funkcji ciągłej f, f(W_{t}) jest procesem Markowa?

1. Sprawdź, że procesy Wienera i Poissona są procesami fellerowskimi.

2. Wykaż, że proces Wienera ma mocną własność Markowa względem filtracji F_{t+}^{W} .

3. Niech W_{t} będzie procesem Wienera startującym z 0 oraz dla a ≠ 0

τ_{a} := inf{t: W_{t} = a}.

Wykaż, że

a) P(τ_{a} u, W_{u} ∈ Γ) = P(τ_{a} u, W_{u} ∈ 2a − Γ);

b) P(τ_{a} u) = 2P(W_{u} a) dla a > 0.

c) τ_{a} ∼ a^{2}τ_{1};

d) τ_{a+b} ∼ τ_{a} + τ̃_{b} dla a, b > 0, gdzie τ̃_{b} jest niezależną kopią τ_{b};

e) sτ_{1} + tτ̃_{1} ∼ (\sqrt{s} + \sqrt{t})^{2}τ_{1} dla s, t > 0.

f) Znajdź rozkład zmiennej sup_{0 t u} W_{t}.

4. Wykaż, że jeśli rodzina Markowa ma mocną własność Markowa względem filtarcji F_{t}, to dla dowolnego momentu zatrzymania τ, funkcji η: {τ < ∞} → T ∪ {∞}, F_{τ}-mierzalnej oraz ograniczonej funkcji borelowskiej f,

E(f(X_{τ+η} )|F_{τ}) = P^{η}f(X_{τ}) p.n.

na zbiorze {τ, η < ∞}.

5. Wykaż, że jeśli τ jest skończonym momentem zatrzymania względem filtracji F_{t}^{W}, to proces (W_{t+τ} − W_{τ})_{t 0} jest procesem Wienera niezależnym od F_{τ}.

1. Załóżmy, że X_{t} jest rodziną Markowa na dwuelementowej przestrzeni stanów z macierzą przejścia

P^{t} = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 + 2e^{−7t} & 2 − 2e^{−7t} \\ 3 − 3e^{−7t} & 2 + 3e^{−7t} \end{matrix} ) .

Znajdź generator A półgrupy generowanej przez X_{t}.

2. Dany jest jednorodny w czasie proces Markowa na przestrzeni {−1, 1} o operatorze infinitezymalnym

( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) = ( −\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}} ) ( \begin{matrix}−2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( −\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}} ) ^{−1} .

Wyznacz P_{1}(X_{4} = X_{2}).

3. Niech A będzie generatorem półgrupy związanej z procesem Wienera. Wykaż, że jeśli f ∈ C_{u}^{(2)}(ℝ) to f ∈ D_{A} oraz Af = \frac{1}{2}f′′.

4. Udowodnij, że dla d wymiarowego procesu Wienera C_{u}^{(2)}(ℝ^{d}) ⊂ D_{A} i Af = \frac{1}{2}Δf dla f ∈ C_{u}^{(2)}(ℝ^{d}).

5. Niech X_{t} = e^{−t} W_{e^{2t}} . Wykaż, że X jest jednorodnym procesem Markowa i znajdź Af dla odpowiednio gładkiej funkcji f.

6. Niech (X_{t}, P_{x})_{t 0,x∈E} będzie jednorodnym procesem Markowa względem filtracji (F_{t})_{t 0} z generatorem (A, D(A)). Załóżmy ponadto, że X_{t} jest prognozowalnie mierzalny. Wykaż, że dla f ∈ D(A) proces

M_{t}^{f} := f(X_{t}) − ∫_{0}^{t} Af(X_{s})ds

jest martyngałem względem każdej miary P_{x}.