Zadania z gwiazdką

1. Załóżmy, że X jest procesem startującym z zera, o przyrostach niezależnych i stacjonarnych, trajektoriach prawostronnie ciągłych, o wartościach całkowitych i skokach równych 1, Wykaż, że jeśli P(X_{1} ≠ 0) > 0, to X jest procesem Poissona.

2. Załóżmy, że N jest procesem Poissona, zaś Δ_{1}, Δ_{2}, … są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie takim, że P(Δ_{1} ≠ 0) = 1. Wykaż, że jeśli zmienne Δ_{i} są niezależne od N, to proces N^{Δ} dany wzorem

N_{t}^{Δ} := ∑_{i N_{t}} Δ_{i}

ma przyrosty niezależne i stacjonarne, startuje z zera i ma trajektorie prawostronnie ciągłe.

3. Załóżmy, że X jest procesem startującym z zera, o przyrostach niezależnych i stacjonarnych i trajektoriach ciągłych. Wykaż, że X = at + bW, gdzie a, b ∈ ℝ, a W jest procesem Wienera.

4. Wykaż, że a) B(ℝ^{[0,1]}) ∩ C[0, 1] = B(C[0, 1]).

b) B(ℝ^{[0,∞)} ) ∩ C[0, ∞) = B(C[0, ∞)), gdzie B(C[0, ∞)) oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w C[0, ∞) w topologii zbieżności niemal jednostajnej.

5. Wykaż, że a) Proces Wienera nie jest lokalnie Hölderowski z wykładnikiem 1/2.

b) Istnieje a < ∞ takie, że

sup_{0 s<t 1} \frac{|W_{t} − W_{s}|}{\sqrt{t − s} ln^{a}(|t − s|^{−1} )} < ∞. p.n.

6. Niech W = (W_{t})_{t∈[0,1]} będzie procesem Wienera. Wykaż, że dla dowolnego funkcjonału φ ∈ (C[0, 1])^{∗}, φ(W) ma rozkład normalny.

7. Wykaż, że dla 0 < α < 1, istnieje scentrowany proces gaussowski (X_{t})_{t 0} taki, że E|X_{t} − X_{s}|^{2} = |t − s|^{2α} .