Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1

1. Niech π_{n} = {t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} }, gdzie a = t_{0}^{(n)} < t_{1}^{(n)} < … < t_{k_{n}}^{(n)} = b będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz diam(π_{n}) = max_{k} |t_{k}^{(n)} −t_{k−1}^{(n)} | oznacza średnicę π_{n}. Udowodnij, że

S(π_{n}) := ∑_{k=1}^{k_{n}} |W_{t_{k}^{(n)}} − W_{t_{k−1}^{(n)}} |^{2} → b − a przy n → ∞ w L^{2}(Ω, F, P),

jeśli diam(π_{n}) → 0 oraz S(π_{n}) → b − a p.n., jeśli ∑ _{n} diam(π_{n}) < ∞.

2. Jeśli funkcja f jest ciągła na [a, b] i ma wahanie ograniczone, to

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} |f(t_{k}^{(n)} ) − f(t_{k−1}^{(n)} )|^{1+δ} = 0,

jeśli δ > 0 oraz diam(π_{n}) → 0.

3. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale.

4** Wykaż, że jeśli M jest ciągłym martyngałem na [0, T] takim, że M_{0} = 0 p.n. to trajektorie M mają p.n. wahanie skończone na [0, T] wtedy i tylko wtedy gdy M ≡ 0. (Wskazówka rozpatrzeć najpierw przypadek gdy sup_{t} |M_{t}| C oraz Wah_{[0,T]}(M) C p.n. korzystając z tożsamości

M_{t}^{2} = ∑_{k=1}^{n} |M_{kt/n} − M_{(k−1)t/n} |^{2} + 2 ∑_{k=1}^{n} M_{(k−1)t/n} (M_{(kt/n} − M_{(k−1)t/n} ).)

5. Wykaż, że jeśli f ma wahanie skończone na [a, b], to f(t) = f(a) + f_{1}(t) − f_{2}(t), gdzie f_{1} i f_{2} są funkcjami niemalejącymi takimi, że f_{i}(a) = 0.

6. Niech f ∈ C^{1}[a, b]. Wykaż, że f ma wahanie ograniczone oraz ∫_{a}^{b}h(t)df(t) = ∫_{a}^{b}h(t)f′(t)dt dla h ciagłych na [a, b].

7* Niech π_{n} będzie ciągiem podziałów jak w zadaniu 1 takim, że diam(π_{n}) → 0. Wykaż, że jeśli dla dowolnej funkcji g ∈ C[a, b] istnieje granica

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} g(t_{k}^{(n)} )(f(t_{k}^{(n)} ) − f(t_{k−1}^{(n)} ))

i jest skończona, to f ma wahanie ograniczone na [a, b].

8. Jaki rozkład ma zmienna ∫_{0}^{T} h(t)dW_{t} dla h ∈ L^{2}[0, T]?

9. Oblicz Cov(∫_{0}^{T} h_{1}(t)dW_{t}, ∫_{0}^{T} h_{2}(t)dW_{t}) dla h_{1}, h_{2} ∈ L^{2}[0, T].

10. Niech C_{p} := (E|W_{1}|^{p})^{1/p}. Wykaż, że dla 0 < p < ∞, przekształcenie h → C_{p}^{−1} ∫_{0}^{T} h(t)dW_{t} jest izometrycznym włożeniem L^{2}([0, T]) w L^{p}(Ω).

11. Wykaż, że dla 0 < t < T i h ∈ L^{2}([0, T]) zachodzi

∫_{0}^{t} h(s)dW_{s} = ∫_{0}^{T} hI_{[0,t]}(s)dW_{s} p.n.

12. Wykaż, że dla h ∈ C^{1}[0, T], T < ∞ zachodzi

∫_{0}^{T} h(t)dW_{t} = h(T)W_{T} − ∫_{0}^{T} h′(t)W_{t}dt p.n.

13. Wykaż, że proces

Y_{t} = \{ \begin{matrix}(1 − t) ∫_{0}^{t} \frac{1}{1−s} dW_{s} & 0 t < 1 \\ 0 & t = 1 \end{matrix}

ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Z_{t} = W_{t} − tW_{1} (most Browna).

14* Załóżmy, że X = (X_{t})_{t 0} jest procesem o przyrostach niezależnych takim, że X_{0} = 0 i X_{t} − X_{s} ∼ Cauchy(t − s) dla 0 t s. Przeprowadź konstrukcję analogiczną do całki Paleya-Wienera i zdefiniuj ∫_{0}^{T} h(t)dX_{t} dla h ∈ L^{1}[0, T]. (Uwaga: E|X_{t}| = ∞ dla t > 0).

1. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na [a, b] zachodzi ∫_{a}^{b}f(s)df(s) = \frac{1}{2}(f^{2}(b) − f^{2}(a)).

2. Oblicz granice w L^{2}(Ω) przy n → ∞ a) ∑ _{k=0}^{n−1} W_{tk/n} (W_{t(k+1)/n} − W_{tk/n} )

b) ∑ _{k=0}^{n−1} W_{t(k+1)/n} (W_{t(k+1)/n} − W_{tk/n} ).

3. Dla procesu stochastycznego X = (X_{t})_{t∈[0,T]} oraz momentu zatrzymania τ określamy X^{τ} = (X_{t}^{τ})_{t∈[0,T]} wzorem X_{t}^{τ} := X_{τ∧t} . Udowodnij, że

i) Jeśli X ma trajektorie (prawostronnie)ciągłe, to X^{τ} też ma trajektorie (prawostronnie)ciągłe. ii) Jeśli X jest procesem adaptowalnym i prawostronnie ciągłym, to X^{τ} jest F_{τ∧t} ⊂ F_{t} adaptowalny. iii) Jeśli M jest prawostronnie ciągłym martyngałem, to M^{τ} jest martyngałem zarówno względem filtracji F_{t}, jak i F_{τ∧t} .

4. Niech (X_{n})_{n=0}^{∞} będzie ciągiem zmiennych F_{n} adaptowalnych. Wykaż, że istnieje dokładnie jeden rozkład X_{n} = Y_{n} + Z_{n} taki, że (Y_{n}, F_{n}) jest martyngałem, zaś Z_{0} = 0 oraz Z_{n} jest ciągiem prognozowalnym (tzn. F_{n−1} adaptowalnym). Ponadto X_{n} jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg Y_{n} jest niemalejący. W szczególności, jeśli X_{n} jest martyngałem względem F_{n}, to istnieje dokładnie jeden niemalejący ciąg Z_{n} zmiennych prognozowalnych taki, że Z_{0} = 0 oraz X_{n}^{2} − Z_{n} jest martyngałem.

5. Wykaż, że każdy proces prognozowalny jest progresywnie mierzalny.

1. Wykaż, że jeśli X ∈ L_{T}^{2}, 0 t s T oraz ξ jest ograniczoną zmienną losową F_{t} mierzalną to ξXI_{(t,s]} ∈ L_{T}^{2} oraz ∫_{t}^{s} ξXdW = ξ ∫_{t}^{s} XdW (Uwaga: ∫_{t}^{s} XdW definiujemy jako ∫_{0}^{T} I_{(s,t]} XdW).

2. Wykaż, że jeśli 0 < t_{1} < … < t_{m} < T oraz ξ_{k} są zmiennymi losowymi w L^{2}(Ω), F_{t_{k}} mierzalnymi to proces X := ∑ _{k=1}^{m−1} ξ_{k}I_{(t_{k} ,t_{k+1} ]} należy do L_{T}^{2} oraz ∫_{0}^{t} XdW = ∑ _{k=1}^{m−1} ξ_{k}(W_{t_{k+1} ∧t} − W_{t_{k} ∧t} ).

3. Załóżmy, że X jest procesem prognozowalnym, ciągłym w L^{2} (tzn. t → X_{t} jest ciągła z [0, T] w L^{2}(Ω)). Wykaż, że wówczas X ∈ L_{T}^{2} oraz dla dowolnego ciągu podziałów 0 = t_{0}^{(n)} t_{1}^{(n)} … t_{k_{n}}^{(n)} = T o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla t T

∑_{k=0}^{k_{n} −1} X_{t_{k}^{(n)}} (W_{t_{k+1}^{(n)}} − W_{t_{k}^{(n)}} ) → ∫_{0}^{T} XdW

w L^{2}(Ω) przy n → ∞.

4. Oblicz ∫_{0}^{t} W_{s}dW_{s}.

5. Niech τ będzie momentem zatrzymania takim, że Eτ < ∞. Wykaż, że I_{[0,τ]} ∈ L_{∞}^{2} oraz ∫_{0}^{∞} I_{[0,τ]}(s)dW_{s} = W_{τ}. Wywnioskuj stąd, że EW_{τ} = 0 oraz EW_{τ}^{2} = Eτ.

6. Dla a, b > 0 określmy τ := inf\{t : |W_{t}| = a\sqrt{b + t}\}. Wykaż, że τ < ∞ p.n. oraz Eτ < ∞ wtedy i tylko wtedy gdy a < 1. Ponadto dla a < 1, Eτ = \frac{a^{2} b}{1−a^{2}} .

7. Niech ξ będzie zmienną losową o skończonej wariancji taką, że Eξ = 0. Wykaż, że istnieje moment zatrzymania τ taki, że W_{τ} ma ten sam rozkład co ξ oraz Eτ = Eξ^{2}.

8. Niech X ∈ Λ_{T}^{2}, 0 t < s T oraz ξ będzie zmienną losową F_{t_{1}} mierzalną (niekoniecznie ograniczoną). Wykaż, że ξXI_{(t,s]} ∈ Λ_{T}^{2} oraz ∫_{t}^{s} ξXdW = ξ ∫_{t}^{s} XdW.

9. Znajdź proces X ∈ Λ_{T}^{2} taki, że ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s} nie jest martyngałem.

Zadania z Procesów Stochastycznych II - 4

1. Niech I_{t} = I_{M} (X)_{t} = ∫_{0}^{t} XdM, gdzie M ∈ M^{2,c} oraz X ∈ E. Wykaż, że I jest ciągłym martyngałem, I_{0} = 0 oraz E|I_{T}|^{2} = E ∫_{0}^{T} X_{s}^{2}d⟨M⟩_{s}.

2. Wykaż, że ⟨M^{τ}⟩ = ⟨M⟩^{τ} dla M ∈ M^{2,c} i dowolnego momentu zatrzymania τ.

3. Wykaż, że dla M, N ∈ M_{loc}^{2,c} oraz dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi ⟨M^{τ}, N^{τ}⟩ = ⟨M^{τ}, N⟩ = ⟨M, N^{τ}⟩ = ⟨M, N⟩^{τ}.

4. Niech h będzie dowolną funkcją o wahaniu ograniczonym na przedziale [a, b], zaś f, g funkcjami ciągłymi na [a, b]. Określmy G(s) = ∫_{a}^{s} g(t)dh(t) dla a t b. Wykaż, że G ma wahanie ograniczone oraz ∫_{a}^{b}f(s)dG(s) = ∫_{a}^{b}f(s)g(s)dh(s).

5. Niech M_{t} = ∫_{0}^{t} W_{t}^{3}dW_{t}. Jak wyglądają przestrzenie L_{∞}^{2} (M) i Λ_{∞}^{2} (M)? Niech X_{t} := ∫_{0}^{t} \frac{1}{W_{t}} dM_{t}. Uzasadnij, że proces X jest dobrze określony. Oblicz wartość oczekiwaną i funkcję kowariancji X.

6. Niech A będzie pewną klasą procesów adaptowalnych na [0, T) taką, że jeśli X ∈ A to X^{τ} ∈ A dla dowolnego momentu zatrzymania τ. Przez A_{loc} oznaczamy wówczas klasę tych procesów adaptowalnych na [0, T) dla których istnieje rosnący ciąg momentów zatrzymania τ_{n} taki, że τ_{n} → T oraz X^{τ_{n}} ∈ A dla wszystkich n.

a) Wykaż, że jeśli X ∈ A_{loc} to X^{τ} ∈ A_{loc} dla dowolnego momentu zatrzymania τ

b) Wykaż, że (A_{loc})_{loc} = A_{loc}

c) Wykaż, że jeśli A jest liniowa to A_{loc} też jest liniowa.

7. Wykaż, że M_{loc}^{c} = M_{loc}^{2,c}.

8. a) Wykaż, że każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest martyngałem.

b) Wykaż, że każdy nieujemny całkowalny ciągły martyngał lokalny jest nadmartyngałem.

c) Podaj przykład nieujemnego całkowalnego ciągłego martyngału lokalnego, który nie jest martyngałem.

9. Niech M, N ∈ M_{loc}^{2,c} oraz X ∈ Λ_{T}^{2}(M) ∩ Λ_{T}^{2}(N). Udowodnij, że X ∈ Λ_{T}^{2}(M + N) oraz ∫ Xd(M + N) = ∫ XdM + ∫ XdN.

10. Niech M ∈ M_{loc}^{2,c} oraz X ∈ Λ_{T}^{2}(M). Wykaż, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi

(∫ XdM)^{τ} = ∫ XdM^{τ} = ∫ XI_{[0,τ]}dM = ∫ XI_{[0,τ]}dM^{τ}.

W szczególności jeśli procesy X i Y pokrywają się na przedziale [0, τ], to (∫ XdM)^{τ} = (∫ Y dM)^{τ}.

1. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw ∫ W_{s}^{2}dW_{s} jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych.

2. Oblicz ⟨W^{1}, W^{2}⟩, gdzie W^{1}, W^{2} niezależne procesy Wienera.

3. Niech X będzie martyngałem lokalnym takim, że |X_{t}| Y dla wszystkich t oraz EY < ∞. Wykaż, że X jest martyngałem.

4. Niech f będzie funkcją klasy C^{2} na ℝ^{2}, korzystając z wzoru Ito oblicz df(t, W_{t}).

5. Niech Z_{t} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2). Wykaż, że dZ_{t} = λZ_{t}dW_{t} tzn. Z_{t} = 1 + λ ∫_{0}^{t} Z_{s}dW_{s}.

6. Niech σ = (σ_{i,j} )_{1 i m,1 j d} będzie macierzą procesów z Λ^{2}. Określamy wówczas ∫ σdW jako m wymiarowy proces (∑ _{j=1}^{d} σ_{1j} dW_{j} , …, ∑ _{j=1}^{d} σ_{mj} dW_{j}). Niech Z = (Z_{1}, …, Z_{m}) = ∫ σdW + ∫ bdt, gdzie b = (b_{1}(t), …, b_{m}(t)) proces m wymiarowy ciągły, adaptowalny. Dla f: ℝ^{d} → ℝ klasy C^{2} oblicz korzystając z wzoru Ito df(Z).

1. Niech g: ℝ^{d} → ℝ będzie funkcją klasy C^{2}, G zbiorem otwartym ograniczonym w ℝ^{d} oraz x ∈ G. Określmy τ := inf{t: W_{t} + x ∉ G}. Korzystając ze wzoru Ito wykaż, że jeśli g jest harmoniczna w G to h(W_{t}^{τ} + x) jest martyngałem. Pokaż, że wystarczy zakładać, iż g jest C^{2} w pewnym otoczeniu domknięcia G.

2. Wykaż, że dla 3-wymiarowego ruchu Browna W_{t} i a ∈ ℝ^{3}, a ≠ 0 proces X_{t} = |W_{t} − a|^{−1} jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. Ponadto X_{t} jest nadmartyngałem oraz zbiega do 0 w L^{1} i prawie na pewno.

3. Wykaż, że 2-wymiarowego ruchu Browna W_{t} i a ∈ ℝ^{2}, a ≠ 0 proces X_{t} = ln|W_{t}−a| jest martyngałem lokalnym. Wywnioskuj stąd, że z prawdopodobieństwem 1 proces W_{t} omija punkt a, ale trajektoria procesu jest dowolnie bliska punktu a.

4. Wykaż, że d-wymiarowy proces X startujący z zera o trajektoriach ciągłych jest procesem Wienera względem filtracji F_{s} wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego u ∈ ℝ^{d} oraz s < t zachodzi E(exp(i⟨u, X_{t}−X_{s}⟩)|F_{s}) = exp(−(t − s)∥u∥^{2}/2) p.n..

5. Załóżmy, że M_{1}, M_{2}, …, M_{d} są ciągłymi martyngałami lokalnymi startującymi z zera takimi, że ⟨M_{j} , M_{k}⟩ = δ_{j,k} t. Wykaż, że M = (M_{1}, M_{2}, …, M_{d}) jest d-wymiarowym procesem Wienera.

6. Wykaż, że d-wymiarowy proces X startujący z zera o trajektoriach ciągłych jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego λ ∈ ℝ^{d} proces exp(⟨λ, X_{t}⟩ − ∥λ∥^{2}t/2) jest martyngałem lokalnym.

7* Niech T < ∞ oraz X = (X_{t})_{0 t<T} będzie procesem prognozowalnym takim, że dla pewnej liczby całkowitej m 1 zachodzi

E ∫_{0}^{T} X^{2m} (s)ds < ∞.

Wykaż, że X ∈ L_{T}^{2} oraz M = ∫ XdW jest martyngałem takim, że

EM_{T}^{2m} (m(2m − 1))^{m}T^{m−1} E ∫_{0}^{T} X_{s}^{2m} ds

(Wsk. Wzór Ito i nierówność Höldera)

8. Niech W = (W^{1}, …, W^{d}) będzie d-wymiarowym ruchem Browna, a R_{t} = ∥W_{t}∥. Wykaż, że

a) B_{t} := ∑ _{j=1}^{d} ∫_{0}^{t} \frac{W_{s}^{(i)}}{R_{s}} dW_{s}^{i} jest jednowymiarowym procesem Wienera;

b) R_{t} = ∫_{0}^{t} \frac{d−1}{2R_{s}} ds + B_{t} (R_{t} jest nazywane procesem Bessela.)

1. Wykaż, że dla a > 0 proces X_{t} = ξe^{bt} + \sqrt{a}∫_{0}^{t} e^{b(t−s)} dW_{s} jest jedynym rozwiązaniem równania dX_{t} = bX_{t}dt+\sqrt{a}dW_{t} z warunkiem początkowym X_{0} = ξ. Jeśli b < 0 oraz ξ ma rozkład N (0, \frac{−a}{2b} ) to X_{t} jest procesem stacjonarnym (proces Ornsteina-Uhlenbecka)

2. Załóżmy, że A(t) jest ciągłą funkcją na [0, T] o wartościach w macierzach m×m, σ(t) jest ciągłą funkcją na [0, T] o wartościach w macierzach m×d zaś a(t) jest ciągłą funkcją na [0, T] o wartościach w ℝ^{m}. Niech S(t) będzie jedynym rozwiązaniem równania

\frac{dS(t)}{dt} = A(t)S(t); S(0) = I.

Ponadto niech W będzie d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ zmienną losową niezależną od W. Wykaż, że

a) ξ(t) := S(t)(ξ+∫_{0}^{t} S^{−1} (s)a(s)ds)

jest rozwiązaniem równania deterministycznego

\frac{dξ(t)}{dt} = A(t)ξ(t) + a(t); ξ(0) = ξ,

b) X(t) = S(t)(ξ+∫_{0}^{t} S^{−1} (s)a(s)ds+∫_{0}^{t} S^{−1} (s)σ(s)dW_{s})

jest jedynym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego

dX_{t} = (A(t)X_{t} + a(t))dt + σ(t)dW_{t}; X_{0} = ξ.

3. Niech σ będzie funkcją ciągłą na ℝ^{d} o wartościach w macierzach d × d, a b(x) funkcją ciągłą z ℝ^{d} w ℝ^{d}, ponadto niech a = σσ^{T}. Niech

Lf(x) = ∑_{j=1}^{d} b_{j} (x)\frac{∂f}{∂x_{j}} + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{d} a_{ij} (x)\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}}

oraz D będzie otwartym pozdbiorem ℝ^{d}. Rozpatrzmy równanie

dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}, X_{0} = x.

Dla x ∈ D oraz procesu X_{t} będącego rozwiązaniem powyższego równania określmy

τ := inf{t 0: X_{t} ∉ D}.

Wykaż, że jeśli istnieje funkcja f klasy C^{2} określona na pewnym otoczeniu domknięcia D oraz c > 0 takie, że f 0 na D oraz Lf −c na D to Eτ < ∞.

4. Przy założeniach i oznaczeniach z zadania 2 załóżmy, że D jest pozbiorem pasa {y: |y_{1}| R}, b_{1} jest funkcją ograniczoną na D oraz a_{1,1}(y) α > 0. Wykaż, że Eτ < ∞. (Wsk. Rozpatrzyć funkcję f(x) = coshrR − coshrx_{1}.

5. Niech D będzie wnętrzem kąta w ℝ^{2} o rozwartości α, X_{t} = W_{t} + x dla pewnego x ∈ D, a τ oznacza pierwszy moment wyjścia przez X z D. Udowodnij, że

a) Jeśli α < π/2 to Eτ < ∞,

b) jeśli α π/2 to Eτ = ∞. Wsk. a) rozpatrzyć funkcję f(r, φ) = r^{2} sin(ρ(α + ε − φ)) we wsp. biegunowych, b) Przyjąć α = π/2 i obliczyć ogon τ z zasady odbicia.

6. Przy oznaczeniach i założeniach zadania 2 załóżmy dodatkowo, że D jest obszarem ograniczonym oraz X_{t} = X_{t}^{x} i τ = τ_{x}. Niech g będzie funkcją ciągłą w D, a h ciągłą na ∂D oraz v(x) będzie rozwiązaniem równania

\{ \begin{matrix}Lv(x) = g(x) & x ∈ D \\ v(x) = h(x) & x ∈ ∂D \end{matrix} .

Załóżmy, że v przedłuża się do funkcji klasy C^{2} na otoczeniu domknięcia zbioru D. Wykaż, że

v(x) = Eh(X_{τ_{x}}^{x} ) − ∫_{0}^{τ_{x}} g(X_{s}^{x})ds.

7. Załóżmy, że d = 1, D = (α, β) oraz a(x) = σ^{2}(x) > δ > 0 dla x ∈ (α, β). Oblicz P(X_{τ_{x}}^{x} = α) dla x ∈ (α, β).

8* Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym takim, że lim_{t→∞} ⟨M, ⟩_{t} = ∞ p.n. Dla 0 t < ∞ definiujemy czasy zatrzymania τ(t) wzorem

τ(t) := inf{s 0: ⟨M⟩_{s} > t}.

Wykaż, że proces B_{t} := M_{τ(t)} jest jednowymiarowym procesem Wienera.

9* Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym na [0, T). Wykaż, że a) na zbiorze {⟨M⟩_{T} < ∞} istnieje p.n. skończona granica lim_{t→T −} M_{t}

b) na zbiorze {⟨M⟩_{T} = ∞} p.n. zachodzi lim sup_{t→T −} M_{t} = ∞ oraz lim inf_{t→T −} M_{t} = −∞.

1. Znajdź taką miarę probabilistyczną ℚ na (Ω, F_{1}^{W} ), by proces (W_{t}+2t^{4})_{0 t 1} był procesem Wienera względem ℚ.

2. Niech Z = Z_{0} +A+M, Y = Y_{0} +B +N będą ciągłymi semimartyngałami. Definiujemy całkę Stratonowicza wzorem

∫_{0}^{t} Y_{s} ∘ dZ_{s} := ∫_{0}^{t} Y_{s}dZ_{s} + \frac{1}{2}⟨M, N⟩.

Pokazać, że jeśli f jest funkcją klasy C^{3} na ℝ to

f(Z_{t}) = f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{s}) ∘ dZ_{s}.

3. Pokazać, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania oraz dowolnym ciągu π_{n} = {t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} } podziałów odcinka [0, t] takim, że diam(π_{n}) → 0 zachodzi

∑_{j=1}^{k_{n}} \frac{Y_{t_{j+1}^{(n)}} + Y_{t_{j}^{(n)}}}{2} (Z_{t_{j+1}^{(n)}} − Z_{t_{j}^{(n)}} ) → ∫_{0}^{t} Y_{s} ∘ dZ_{s}

przy n → ∞ według prawdopodobieństwa.

4. Niech μ oznacza miarę Wienera na C([0, 1]) (tzn. rozkład wyznaczony przez proces Wienera na [0, 1]). Dla h ∈ C([0, 1]) określamy nową miarę μ_{h} wzorem μ_{h}(A) := μ(h + A).

a) Wykaż, że jeśli h(t) = ∫_{0}^{t} g(s)ds dla 0 t 1 oraz g ∈ L^{2}[0, 1] to miara μ_{h} jest absolutnie ciągła względem μ oraz znaleźć gęstość. b*) Jeśli h nie ma powyższej postaci to μ i μ_{h} są wzajemnie singularne.

1. DLa T < ∞ rozpatrzmy równanie

dX_{t} = b(t, X_{t})dt + dW_{t}, 0 t T, X_{0} = 0.  (1)

Niech U będzie procesem Wienera na (Ω, F, P), Z_{t} = exp(∫_{0}^{t} b(s, U_{s})dU_{s} − ∫_{0}^{t} b^{2}(s, U_{s})ds/2), W_{t} := U_{t}−∫_{0}^{t} b(s, U_{s})ds. Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli EZ_{T} = 1 to istnieje miara probabilistyczna Q_{T} taka, że para (U, W) jest słabym rozwiązaniem (1) na (Ω, F, Q_{T}) (z X = U).

2. a) Załóżmy, że f_{n} ∈ C^{2}(ℝ) spełniają warunki f_{n}(0) = f′_{n}(0) = 0, 0 f′′_{n} n, f_{n}”(x) = n dla |x| n^{−2} (n − 1) oraz f_{n}”(x) = 0 dla |x| n^{−2} (n + 1). Niech

Y_{t}^{(n)} := \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} f′′_{n}(W_{s})dW_{s}.

Wykaż, że jeśli α jest odpowiednio duże, to Y_{t}^{(k^{α} )} → L_{t} p.n. przy k → ∞ oraz zbieżność jest jednostajna na każdym przedziale ograniczonym.

b) Wywnioskuj stąd, że

lim_{k→∞} \frac{1}{2}k^{α} |\{s ∈ [0, t]: |W_{s}| k^{−α} \}| = L_{t} p.n..

c) Wykaż, że

L_{t} = lim_{ε→0+} \frac{1}{2ε}|\{s ∈ [0, t]: |W_{s}| ε\}| p.n..

i zbieżność jest jednostajna na przedziałach ograniczonych.

3. Wykaż, że dla a ∈ ℝ istnieje proces L_{t}^{a} ciągły, niemalejący, nieujemny taki, że

|W_{t} − a| = |a| + ∫_{0}^{t} sgn(W_{t} − a)dW_{t} + L_{t}^{a} p.n..

Ponadto

L_{t}^{a} = lim_{ε→0+} \frac{1}{2ε}|\{s ∈ [0, t]: |W_{s} − a| ε\}| p.n..

4. Udowodnij, że

\frac{1}{2}L_{t}^{a} = (W_{t} − a)^{+} − a^{−} − ∫_{0}^{t} I_{[a,∞)} (W_{s})dW_{s}
= (W_{t} − a)^{−} − a^{+} + ∫_{0}^{t} I_{(−∞,a]} (W_{s})dW_{s} p.n..

5* Wykaż, że da się wybrać taką wersję czasów lokalnych L_{t}^{a}, by proces (t, a) → L_{t}^{a} był ciągły względem pary parametrów (a, t) ∈ ℝ × ℝ^{+} .

1. Wykaż, że d-wymiarowy proces X = (X^{(1)}, …, X^{(d)}) jest procesem Wienera względem ustalonej filtracji F_{t} wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej funkcji f ∈ C^{2}(ℝ^{d}) proces (X_{t} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} △f(X_{s})ds, F_{t}) jest martyngałem lokalnym.

2. Niech M = (M^{(1)}, …, M^{(d)}) będzie taki, że M_{0} = 0, M^{(i)} ∈ M_{loc}^{c} oraz dla 1 i, j d,

⟨M^{(i)} , M^{(j)} ⟩_{t} = ∫_{0}^{t} z_{s}^{(i,j)} ds.

i) Wykaż, że macierz Z_{s} = (z_{s}^{(i,j)} )_{i,j d} jest symetryczna i nieujemnie określona. Wywnisokuj stąd, że istnieje macierz procesów Q_{s} = (q_{s}^{(i,j)} )_{i,j d} taka, że Q_{s}^{−1} = Q_{s}^{T} oraz Λ_{s} = Q_{s}^{−1} Z_{s}Q_{s} jest macierzą diagonalną. Niech Q_{s} = diag(λ_{s}^{(1)}, …, λ_{s}^{(d)}). ii) Zdefiniujmy N_{t}^{(i)} := ∑ _{k=1}^{d} ∫_{0}^{t} q_{s}^{(i,k)} dM_{s}^{(k)}. Wykaż, że

⟨N^{(i)} , N^{(j)} ⟩_{t} = δ_{i,j} ∫_{0}^{t} λ_{s}^{(i)} ds.

iii) Niech B = (B^{(1)}, …, B^{(d)}) będzie d-wymiarowym procesem Wienera niezależnym od N. Określmy

W_{t}^{(i)} := ∫_{0}^{t} I_{\{λ_{s}^{(i)} >0\}} \frac{1}{\sqrt{λ_{s}^{(i)}}} dN_{s}^{(i)} + ∫_{0}^{t} I_{\{λ_{s}^{(i)} =0\}} dB_{s}^{(i)} .

Wykaż, że W jest procesem Wienera oraz N_{t}^{(i)} = ∫_{0}^{t} \sqrt{λ_{s}^{(i)}} dW_{s}^{(i)} . iv) Określmy X_{t}^{(i,j)} := q_{s}^{(i,j)} λ_{s}^{(j)} , udowodnij, że

M_{t}^{(i)} = ∑_{j=0}^{d} ∫_{0}^{t} X_{s}^{(i,j)} dW_{s}.