Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1

1. Niech π_{n} = {t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} }, gdzie a = t_{0}^{(n)} < t_{1}^{(n)} < … < t_{k_{n}}^{(n)} = b będzie ciągiem podziałów odcinka [a, b] oraz diam(π_{n}) = max_{k} |t_{k}^{(n)} −t_{k−1}^{(n)} | oznacza średnicę π_{n}. Udowodnij, że

S_{n} = ∑_{k=1}^{k_{n}} |W_{t_{k}^{(n)}} − W_{t_{k−1}^{(n)}} |^{2} → b − a, n → ∞ w L^{2}(Ω, F, P),

jeśli diam(π_{n}) → 0 oraz S_{n} → b − a p.n., jeśli ∑ _{n} diam(π_{n}) < ∞.

2. Jeśli funkcja f jest ciągła na [a, b] i ma wahanie ograniczone to

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} |f(t_{k}^{(n)} ) − f(t_{k−1}^{(n)} )|^{1+δ} = 0

jeśli δ > 0 oraz diam(π_{n}) → 0.

3. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera mają nieskończone wahanie na każdym przedziale.

4. * Wykaż, że jeśli M jest ciągłym martyngałem na [0, T] takim, że M_{0} = 0 p.n. to trajektorie M mają p.n. wahanie skończone na [0, T] wtedy i tylko wtedy gdy M ≡ 0. (Wskazówka: rozpatrzeć najpierw przypadek gdy sup_{t} |M_{t}| C oraz Wah_{[0,T]}(M) C p.n. korzystając z tożsamości

M_{t}^{2} = ∑_{k=1}^{n} |M_{kt/n} − M_{(k−1)t/n} |^{2} + 2 ∑_{k=1}^{n} M_{(k−1)t/n} (M_{(kt/n} − M_{(k−1)t/n} ).)

5. Wykaż, że jeśli f ma wahanie skończone na [a, b] to f(t) = f(a) + g_{1}(t) − g_{2}(t), gdzie g_{1} i g_{2} są funkcjami niemalejącymi takimi, że g_{i}(a) = 0.

6. Niech π_{n} będzie ciągiem podziałów jak w zadaniu 1 takim, że diam(π_{n}) → 0. Wykaż, że jeśli dla dowolnej funkcji g ∈ C[a, b] istnieje granica

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} g(t_{k}^{(n)} )(f(t_{k}^{(n)} ) − f(t_{k−1}^{(n)} ))

i jest skończona to f ma wahanie ograniczone na [a, b].

7. Wykaż, że dla h ∈ C^{1}[0, T], T < ∞ zachodzi

∫_{0}^{T} h(t)dW_{t} = h(T)W_{T} − ∫_{0}^{T} h′(t)W_{t}dtp.n.

8. Jaki rozkład ma zmienna ∫_{0}^{T} h(t)dW_{t} dla h ∈ L^{2}[0, T]?

9. Oblicz Cov(∫_{0}^{T} h_{1}(t)dW_{t}, ∫_{0}^{T} h_{2}(t)dW_{t}) dla h_{1}, h_{2} ∈ L^{2}[0, T].

10. Wykaż, że proces

Y_{t} = \{ \begin{matrix}(1 − t) ∫_{0}^{t} \frac{1}{1−s} dW_{s} & 0 t < 1 \\ 0 & t = 1 \end{matrix}

ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Z_{t} = W_{t} − tW_{1} (most Browna)

1. Wykaż, że jeśli X ∈ L_{T}^{2}, 0 t s T oraz ξ jest zmienną losową F_{t} mierzalną to ξXI_{(t,s]} ∈ L_{T}^{2} oraz ∫_{t}^{s} ξXdW = ξ ∫_{t}^{s} XdW (Uwaga: ∫_{t}^{s} XdW definiujemy jako ∫_{0}^{T} I_{(s,t]} XdW).

2. Wykaż, że jeśli 0 < t_{1} < … < t_{m} < T oraz ξ_{k} są zmiennymi losowymi w L^{2}(Ω), F_{t_{k}} mierzalnymi to proces X := ∑ _{k=1}^{m−1} ξ_{k}I_{(t_{k} ,t_{k+1} ]} należy do L_{T}^{2} oraz ∫_{0}^{t} XdW = ∑ _{k=1}^{m−1} ξ_{k}(W_{t_{k+1} ∧t} − W_{t_{k} ∧t} ).

3. Załóżmy, że X jest procesem prognozowalnym, ciągłym w L^{2} (tzn. t → X_{t} jest ciągła z [0, T] w L^{2}(Ω)). Wykaż, że wówczas X ∈ L_{T}^{2} oraz dla dowolnego ciągu podziałów 0 = t_{0}^{(n)} t_{1}^{(n)} … t_{k_{n}}^{(n)} = T o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla t T

∑_{k=0}^{k_{n} −1} X_{t_{k}^{(n)}} (W_{t_{k+1}^{(n)}} − W_{t_{k}^{(n)}} ) → ∫_{0}^{T} XdW

w L^{2}(Ω) przy n → ∞.

4. Oblicz granice w L^{2}(Ω) przy n → ∞ a) ∑ _{k=0}^{n−1} W_{tk/n} (W_{t(k+1)/n} − W_{tk/n} )

b) ∑ _{k=0}^{n−1} W_{t(k+1)/n} (W_{t(k+1)/n} − W_{tk/n} ).

c) Ile wynosi ∫_{0}^{t} W_{s}dW_{s}?

5. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na [a, b] zachodzi ∫_{a}^{b}f(s)ds = \frac{1}{2}(f^{2}(b) − f^{2}(a)).

6. Niech τ będzie momentem zatrzymania takim, że Eτ < ∞. Wykaż, że I_{[0,τ]} ∈ L_{∞}^{2} oraz ∫_{0}^{∞} I_{[0,τ]}(s)dW_{s} = W_{τ}. Wywnioskuj stąd, że EW_{τ} = 0 oraz EW_{τ}^{2} = Eτ.

7. Dla a, b > 0 określmy τ := inf\{t : |W_{t}| = a\sqrt{b + t}\}. Wykaż, że τ < ∞ p.n. oraz Eτ < ∞ wtedy i tylko wtedy gdy a < 1. Ponadto dla a < 1, Eτ = \frac{a^{2} b}{1−a^{2}} .

8. Niech ξ będzie zmienną losową o skończonej wariancji taką, że Eξ = 0. Wykaż, że istnieje moment zatrzymania τ taki, że W_{τ} ma ten sam rozkład co ξ oraz Eτ = Eξ^{2}.

1. Wykaż, że jeśli M jest martyngałem prawostronnie ciągłym to M^{τ} też jest martyngałem (względem tej samej filtracji).

2. Niech (X_{n})_{n=0}^{∞} będzie ciągiem zmiennych F_{n} adaptowalnych. Wykaż, że istnieje dokładnie jeden rozkład X_{n} = Y_{n} + Z_{n} taki, że (Y_{n}, F_{n}) jest martyngałem, zaś Z_{0} = 0 oraz Z_{n} jest ciągiem prognozowalnym (tzn. F_{n−1} adaptowalnym). Ponadto X_{n} jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg Y_{n} jest niemalejący.

3. Niech X ∈ Λ_{T}^{2}, 0 t < s T oraz ξ będzie zmienną losową F_{t_{1}} mierzalną (niekoniecznie ograniczoną). Wykaż, że ξXI_{(t,s]} ∈ Λ_{T}^{2} oraz ∫_{t}^{s} ξXdW = ξ ∫_{t}^{s} XdW.

4. Wykaż, że ⟨M^{τ}⟩ = ⟨M⟩^{τ} dla M ∈ M_{loc}^{2,c} i dowolnego momentu zatrzymania τ.

5. Wykaż, że M_{loc}^{c} = M_{loc}^{2,c}.

6. a) Wykaż, że każdy ograniczony ciągły martyngał lokalny jest martyngałem.

b) Wykaż, że każdy nieujemny całkowalny ciągły martyngał lokalny jest nadmartyngałem.

c) Podaj przykład nieujemnego całkowalnego ciągłego martyngału lokalnego, który nie jest martyngałem.

7. Niech M, N ∈ M_{loc}^{2,c} oraz X ∈ Λ_{T}^{2}(M) ∩ Λ_{T}^{2}(N). Udowodnij, że X ∈ Λ_{T}^{2}(M + N) oraz ∫ Xd(M + N) = ∫ XdM + ∫ XdN.

8. Niech M ∈ M_{loc}^{2,c} oraz X ∈ Λ_{T}^{2}(M). Wykaż, że dla dowolnego momentu zatrzymania τ zachodzi

(∫ XdM)^{τ} = ∫ XdM^{τ} = ∫ XI_{[0,τ]}dM = ∫ XI_{[0,τ]}dM^{τ}.

1. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części przedstaw ∫ W_{s}^{2}dW_{s} jako wyrażenie nie zawierające całek stochastycznych.

2. Oblicz ⟨W^{1}, W^{2}⟩, gdzie W^{1}, W^{2} niezależne procesy Wienera.

3. Niech h będzie dowolną funkcją o wahaniu ograniczonym na przedziale [a, b], zaś f, g funkcjami ciągłymi na [a, b]. Określmy G(s) = ∫_{a}^{s} g(t)dh(t) dla a t b. Wykaż, że G ma wahanie ograniczone oraz ∫_{a}^{b}f(s)dG(s) = ∫_{a}^{b}f(s)g(s)dh(s).

4. Niech X będzie martyngałem lokalnym takim, że |X_{t}| Y dla wszystkich t oraz EY < ∞. Wykaż, że X jest martyngałem.

5. Niech Z_{t} = exp(λW_{t} − λ^{2}t/2). Wykaż, że dZ_{t} = λZ_{t}dW_{t} tzn. Z_{t} = 1 + λ ∫_{0}^{t} Z_{s}dW_{s}.

6. Niech f będzie funkcją klasy C^{2} na ℝ^{2}, korzystając z wzoru Ito oblicz df(t, W_{t}).

7. Niech σ = (σ_{i,j} )_{1 i m,1 j d} będzie macierzą procesów z Λ^{2}. Określamy wówczas ∫ σdW jako m wymiarowy proces (∑ _{j=1}^{d} σ_{1j} dW_{j} , …, ∑ _{j=1}^{d} σ_{mj} dW_{j}). Niech Z = (Z_{1}, …, Z_{m}) = ∫ σdW + ∫ bdt, gdzie b = (b_{1}(t), …, b_{m}(t)) proces m wymiarowy ciągły, adaptowalny. Dla f: ℝ^{d} → ℝ klasy C^{2} oblicz korzystając z wzoru Ito df(Z).

8. Niech g: ℝ^{d} → ℝ będzie funkcją klasy C^{2}, G zbiorem otwartym ograniczonym w ℝ^{d} oraz x ∈ G. Określmy τ := inf{t: W_{t} + x ∉ G}. Korzystając ze wzoru Ito wykaż, że jeśli g jest harmoniczna w G to h(W_{t}^{τ} + x) jest martyngałem. Pokaż, że wystarczy zakładać, iż g jest C^{2} w pewnym otoczeniu domknięcia G.

9. Wykaż, że dla 3-wymiarowego ruchu Browna W_{t} i a ∈ ℝ^{3}, a ≠ 0 proces X_{t} = |W_{t} − a|^{−1} jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. Ponadto X_{t} jest nadmartyngałem oraz zbiega do 0 w L^{1} i prawie na pewno.

10. Wykaż, że 2-wymiarowego ruchu Browna W_{t} i a ∈ ℝ^{2}, a ≠ 0 proces X_{t} = ln|W_{t}−a| jest martyngałem lokalnym. Wywnioskuj stąd, że z prawdopodobieństwem 1 proces W_{t} omija punkt a, ale trajektoria procesu jest dowolnie bliska punktu a.

1. Wykaż, że d-wymiarowy proces X startujący z zera o trajektoriach ciągłych jest procesem Wienera względem filtracji F_{s} wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego u ∈ ℝ^{d} oraz s < t zachodzi E(exp(i⟨u, X_{t}−X_{s}⟩)|F_{s}) = exp(−(t − s)∥u∥^{2}/2) p.n..

2. Załóżmy, że M_{1}, M_{2}, …, M_{d} są ciągłymi martyngałami lokalnymi startującymi z zera takimi, że ⟨M_{j} , M_{k}⟩ = δ_{j,k} t. Wykaż, że M = (M_{1}, M_{2}, …, M_{d}) jest d-wymiarowym procesem Wienera.

3. Wykaż, że d-wymiarowy proces X startujący z zera o trajektoriach ciągłych jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego λ ∈ ℝ^{d} proces exp(⟨λ, X_{t}⟩ − ∥λ∥^{2}t/2) jest martyngałem lokalnym.

4. Niech T < ∞ oraz X = (X_{t})_{0 t<T} będzie procesem prognozowalnym takim, że dla pewnej liczby całkowitej m 1 zachodzi

E ∫_{0}^{T} X^{2m} (s)ds < ∞.

Wykaż, że X ∈ L_{T}^{2} oraz M = ∫ XdW jest martyngałem takim, że

EM_{T}^{2m} (m(2m − 1))^{m}T^{m−1} E ∫_{0}^{T} X_{s}^{2m} ds

(Wsk. Wzór Ito i nierówność Höldera)

5. Niech W = (W^{1}, …, W^{d}) będzie d-wymiarowym ruchem Browna, a R_{t} = ∥W_{t}∥. Wykaż, że

a) B_{t} := ∑ _{j=1}^{d} ∫_{0}^{t} \frac{W_{s}^{(i)}}{R_{s}} dW_{s}^{i} jest jednowymiarowym procesem Wienera;

b) R_{t} = ∫_{0}^{t} \frac{d−1}{2R_{s}} ds + B_{t} (R_{t} jest nazywane procesem Bessela.)

1. Załóżmy, że A(t) jest ciągłą funkcją na [0, T] o wartościach w macierzach m×m, σ(t) jest ciągłą funkcją na [0, T] o wartościach w macierzach m×d zaś a(t) jest ciągłą funkcją na [0, T] o wartościach w ℝ^{m}. Niech S(t) będzie jedynym rozwiązaniem równania

\frac{dS(t)}{dt} = A(t)S(t); S(0) = I.

Ponadto niech W będzie d-wymiarowym procesem Wienera, a ξ zmienną losową niezależną od W. Wykaż, że

a) ξ(t) := S(t)(ξ + ∫_{0}^{t} S^{−1} (s)a(s)ds)

jest rozwiązaniem równania deterministycznego

\frac{dξ(t)}{dt} = A(t)ξ(t) + a(t); ξ(0) = ξ,

b) X(t) = S(t)(ξ + ∫_{0}^{t} S^{−1} (s)a(s)ds + ∫_{0}^{t} S^{−1} (s)σ(s)dW_{s})

jest jedynym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego

dX_{t} = (A(t)X_{t} + a(t))dt + σ(t)dW_{t}; X_{0} = ξ.

2. Niech σ będzie funkcją ciągłą na ℝ^{d} o wartościach w macierzach d × d, a b(x) funkcją ciągłą z ℝ^{d} w ℝ^{d}, ponadto niech a = σσ^{T}. Niech

Lf(x) = ∑_{j=1}^{d} b_{j} (x)\frac{∂f}{∂x_{j}} + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{d} a_{ij} (x)\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}}

oraz D będzie otwartym pozdbiorem ℝ^{d}. Rozpatrzmy równanie

dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}, X_{0} = x.

Dla x ∈ D oraz procesu X_{t} będącego rozwiązaniem powyższego równania określmy

τ := inf{t 0: X_{t} ∉ D}.

Wykaż, że jeśli istnieje funkcja f klasy C^{2} określona na pewnym otoczeniu domknięcia D oraz c > 0 takie, że f 0 na D oraz Lf −c na D to Eτ < ∞.

3. Przy założeniach i oznaczeniach z zadania 2 załóżmy, że D jest pozbiorem pasa {y: |y_{1}| R}, b_{1} jest funkcją ograniczoną na D oraz a_{1,1}(y) α > 0. Wykaż, że Eτ < ∞. (Wsk. Rozpatrzyć funkcję f(x) = coshrR − coshrx_{1}.

4. Niech D będzie wnętrzem kąta w ℝ^{2} o rozwartości α, X_{t} = W_{t} + x dla pewnego x ∈ D, a τ oznacza pierwszy moment wyjścia przez X z D. Udowodnij, że

a) Jeśli α < π/2 to Eτ < ∞,

b) jeśli α π/2 to Eτ = ∞. Wsk. a) rozpatrzyć funkcję f(r, φ) = r^{2} sin(ρ(α + ε − φ)) we wsp. biegunowych, b) Przyjąć α = π/2 i obliczyć ogon τ z zasady odbicia.

5. Przy oznaczeniach i założeniach zadania 2 załóżmy dodatkowo, że D jest obszarem ograniczonym oraz X_{t} = X_{t}^{x} i τ = τ_{x}. Niech g będzie funkcją ciągłą w D, a h ciągłą na ∂D oraz v(x) będzie rozwiązaniem równania

\{ \begin{matrix}Lv(x) = g(x) & x ∈ D \\ v(x) = h(x) & x ∈ ∂D \end{matrix} .

Załóżmy, że v przedłuża się do funkcji klasy C^{2} na otoczeniu domknięcia zbioru D. Wykaż, że

v(x) = Eh(X_{τ_{x}}^{x} ) − ∫_{0}^{τ_{x}} g(X_{s}^{x})ds.

6. Załóżmy, że d = 1, D = (α, β) oraz a(x) = σ^{2}(x) > δ > 0 dla x ∈ (α, β). Oblicz P(X_{τ_{x}}^{x} = α) dla x ∈ (α, β).

7. Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym takim, że lim_{t→∞} ⟨M, ⟩_{t} = ∞ p.n. Dla 0 t < infty definiujemy czasy zatrzymania τ(t) wzorem

τ(t) := inf{s 0: ⟨M⟩_{s} > t}.

Wykaż, że proces B_{t} := M_{τ(t)} jest jednowymiarowym procesem Wienera.

8. Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym na [0, T). Wykaż, że a) na zbiorze {⟨M⟩_{T} < ∞} istnieje p.n. skończona granica lim_{t→T −} M_{t}

b) na zbiorze {⟨M⟩_{T} = ∞} p.n. zachodzi lim sup_{t→T −} M_{t} = ∞ oraz lim inf_{t→T −} M_{t} = −∞.

9. Wykaż, że dla a > 0 proces X_{t} = ξe^{bt} + \sqrt{a}∫_{0}^{t} e^{b(t−s)} dW_{s} jest jedynym rozwiązaniem równania dX_{t} = bX_{t}dt+\sqrt{a}dW_{t} z warunkiem początkowym X_{0} = ξ. Jeśli b < 0 oraz ξ ma rozkład N (0, \frac{−a}{2b} ) to X_{t} jest procesem stacjonarnym (proces Ornsteina-Uhlenbecka)

1. Niech Z = Z_{0} + A_{0} + M_{0}, Y = Y_{0} + B_{0} + N_{0} będą ciągłymi semimartyngałami. Definiujemy całkę Stratonowicza wzorem

∫_{0}^{t} Y_{s} ∘ dZ_{s} := ∫_{0}^{t} Y_{s}dZ_{s} + \frac{1}{2}⟨M, N⟩.

Pokazać, że jeśli f jest funkcją klasy C^{3} na ℝ to

f(Z_{t}) = f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{s}) ∘ dZ_{s}.

2. Pokazać, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania oraz dowolnym ciągu π_{n} = {t_{0}^{(n)} , t_{1}^{(n)} , …, t_{k_{n}}^{(n)} } podziałów odcinka [0, t] takim, że diam(π_{n}) → 0 zachodzi

∑_{j=1}^{k_{n}} \frac{Y_{t_{j+1}^{(n)}} − Y_{t_{j}^{(n)}}}{2} (Z_{t_{j+1}^{(n)}} − Z_{t_{j}^{(n)}} ) → ∫_{0}^{t} Y_{s} ∘ dZ_{s}

przy n → ∞ według prawdopodobieństwa.

3. Niech μ oznacza miarę Wienera na C([0, 1]) (tzn. rozkład wyznaczony przez proces Wienera na [0, 1]). Dla h ∈ C([0, 1]) określamy nową miarę μ_{h} wzorem μ_{h}(A) := μ(h + A).

a) Wykaż, że jeśli h(t) = ∫_{0}^{t} g(s)ds dla 0 t 1 oraz g ∈ L^{2}[0, 1] to miara μ_{h} jest absolutnie ciągła względem μ oraz znaleźć gęstość. b*) Jeśli h nie ma powyższej postaci to μ i μ_{h} są wzajemnie singularne.

Trochę zadań z procesów stochastycznych 2

1. Który z poniższych procesów:

X_{t} = ∫_{0}^{t} sgnW_{s} dW_{s}, Y_{t} = ∫_{0}^{t} s dW_{s}, Z_{t} = W_{t}^{2} − t

(t ∈ ℝ_{+} ) jest a)procesem Wienera, b)martyngałem. Odpowiedź uzasadnić.

2. Niech τ będzie momentem zatrzymania, takim że Eτ < ∞. Oznaczmy M_{t} = ∫_{0}^{t} W_{s}dW_{s} i

X_{t} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{|W_{t}|} & gdyW_{t} ≠ 0 \\ 0 & gdyW_{t} = 0 \end{matrix}

Pokazać, że X ∈ L_{∞}^{2} (M^{τ}) i obliczyć E(∫_{0}^{∞} XdM^{τ})^{2}.

3. Niech b, σ ∈ ℝ, σ ≠ 0. Pokazać, że proces

X_{t} = e^{t(b− \frac{1}{2} σ^{2} )+σW_{t}} , t ∈ ℝ_{+}

spełnia równanie

dX_{t} = bX_{t}dt + σX_{t}dW_{t}, X_{0} = 1.

Czy równanie to może mieć inne rozwiązania?

4. ξ = ∫_{0}^{1} |W_{s}|dW_{s}. Oblicz Eξ oraz Varξ

5. W = (W^{(1)}, W^{(2)}) jest procesem Wienera w ℝ^{2}, rozważana filtracja jest generowana przez ten proces. Procesy X, Y są prognozowalne i ograniczone. Czy proces

∫_{0}^{t} X_{s} dW_{s}^{(1)} · ∫_{0}^{t} Y_{s} dW_{s}^{(2)}

jest: semimartyngałem; martyngałem lokalnym, ale niekoniecznie martyngałem; martyngałem.