Procesy Stochastyczne II

spisał: Marcin Pękalski

16 listopada 2006

Poniższe notatki powstały na podstawie wykładów z Procesów Stochastycznych II, prowadzonych w semestrach zimowych 2003/04 i 2006/07 i zostały spisane przez pana Marcina Pękalskiego oraz przejrzane przeze mnie.

Z góry przepraszam za wszystkie nieścisłości i omyłki mogące pojawić się w tekście i jednocześnie zwracam się z prośbą do czytelników, którzy zauważyli błędy lub mają jakieś inne uwagi na temat notatek o kontakt mailowy rlatala@mimuw.edu.pl z podaniem wersji notatek (daty) do której chcą się ustosunkować.

Rafał Latała Problem:

Jak zdefiniować ∫_{0}^{t} f(s) d𝕎_{s} lub ogólniej ∫_{0}^{t} X_{s} d𝕎_{s} bądź ∫_{0}^{t} X_{s} dY_{s} gdzie f(s)

„porządna" funkcja, a X_{s}, Y_{s} „porządne" procesy stochastyczne?

1 Całka Riemana-Stieltjesa

Definicja 1.1. Jeśli f : [a, b] → ℝ, to liczbę

Wah_{[a,b]}(f): = sup_{n∈ℕ} sup_{a=t_{0}<...<t_{n}=b} ∑_{i=1}^{n} |f(t_{i}) − f(t_{i−1})|

nazywamy wahaniem funkcji f w przedziale [a, b]. Mówimy, że f jest funkcją o wahaniu skończonym na [a, b], jeśli Wah_{[a,b]}(f) < ∞.

Oczywiście 0 ≤ Wah_{[a,b]}(f) ≤ ∞ Wahanie jest addytywną funkcją przedziału tzn. Wah_{[a,c]}(f) = Wah_{[a,b]}(f) + Wah_{[b,c]}(f), gdy a < b < c.

Przykład 1.2.

\begin{matrix}• f Lipschitzowska \\ • f monotoniczna \\ • f = g − h g, h monotoniczne \end{matrix} \} ⇒ f ma wahanie sk. na każdym skończonym przedziale.

(ZAD)

Twierdzenie 1.3. Jeśli f ma wahanie skończone na [0, T] to istnieją funkcje niemalejące f_{1}, f_{2} takie, że f_{1}(0) = f_{2}(0) = 0 oraz f(t) = f(0) + f_{1}(t) − f_{2}(t). Co więcej f ma w każdym punkcie granice jednostrone. Ponadto

i) jeśli f jest ciągła to f_{1}, f_{2} można wybrać ciągłe, ii) jeśli f jest cadlag^{1} to f_{1}, f_{2} można wybrać cadlag.

Definicja 1.4. Π = {t_{0}, t_{1}, …, t_{k}} jest podziałem [0, T] jeśli 0 = t_{0} ≤ t_{1} ≤ … ≤ t_{k} = T, diam(Π): = max_{i} |t_{i+1} − t_{i}|.

Π′ jest podpodziałem Π (ozn. Π′ ≺ Π) jeśli wszystkie punkty Π są punktami Π′.

1cadlag - prawostronnie ciągła z lewostronnymi granicami

Π^{n} = {t_{0}^{n}, …, t_{k_{n}}^{n}} jest normalnym ciągiem podziałów jeśli diam(Π^{n}) ⟶^{n→∞} 0 oraz Π^{n+1} ≺ Π^{n}.

Definicja 1.5. Niech f, g: [0, T] → ℝ. Powiemy że ∫ g df istnieje jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów Π^{n} = {t_{0}^{n}, …, t_{k_{n}}^{n}} oraz punktów s_{0}^{n}, …, s_{k_{n}−1}^{n} takich, że t_{j}^{k} ≤ s_{j}^{k} ≤ t_{j+1}^{k} istnieje

lim_{n→∞} ∑_{j=1}^{k_{n}} h(s_{j}^{k})[f(t_{j}^{k}) − f(t_{j−1}^{k})].

Granicę tą oznaczamy ∫_{0}^{T} h(t) df(t) i nazywamy całką Riemanna-Stjeltjesa.

Twierdzenie 1.6.

Jeżeli h ciągła, a f ma wahanie skończone, to ∫_{0}^{T} h df istnieje.

Dowód. Tak jak dla całki Riemanna.

□

Uwaga 1.7. • W przypadku f(t) = t jest to zwykła całka Riemanna.

• Jeśli f ∈ C^{1}, to f(t_{j+1}^{n}) − f(t_{j}^{n}) = f′(Θ_{j}^{n}) dla pewnego t_{j}^{n+1} ≤ Θ_{j}^{n} ≤ t_{j}^{n}.

Stąd możemy udowodnić, że

∫_{0}^{T} h(t) df(t) = ∫_{0}^{T} h(t)f′(t) dt.

Uogólnienie f - cadlag o wahaniu ograniczonym o rozkładzie f(t) = f(0) + f_{1}(t) − f_{2}(t), f_{1}, f_{2} - cadlag niemalejace. Istnieją miary borelowskie μ_{1}, μ_{2} na [0, T] takie, że μ_{i}[0, t] = f_{i}(t). Wówczas

∫ h(t) df(t) := ∫_{0}^{T} h(t) μ_{1}(dt) − ∫_{0}^{T} h(t) μ_{2}(dt)

h : [0, T] → ℝ borelowska, ograniczona (jest to całka Lebesgue’a-Stieltjesa).

Uwaga 1.8. Jeśli h jest ciągła na [0, T], to całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest równa całce Riemanna-Stieltjesa.

(ZAD)

Uwaga 1.9. Jeśli f - cadlag taka, że ∫ h df istnieje dla wszystkich h ∈ C([0, T]), to f ma wahanie skończone.

Problem Jeśli f jest ciągła na [0, T] i wahanie f jest skończone, to

∑_{i=0}^{k_{n}} |f(t_{i+1}^{n}) − f(t_{i}^{n})|^{1+δ} ⟶^{n→∞} 0,

o ile δ > 0, Π^{n} = {t_{0}^{n}, …, t_{k_{n}}^{n}} podziały [0, T] takie, że diam(Π^{n}) ⟶^{n→∞} 0. Dla procesu Wienera

∑_{i=1}^{n} |𝕎(t_{i+1}^{n}) − 𝕎(t_{i}^{n}))|^{2} ⟶^{p.n.} T jeśli ∑ diam(Π^{n}) < ∞,

czyli prawie wszystkie trajektorie 𝕎 mają wahanie nieskończone.

Wniosek 1.10. Dla zdefiniowania ∫ fd𝕎 trzeba wymyśleć inną definicję.

2 Całka Paleya-Wienera

W tym rozdziale pokażemy jak można całkować względem procesu Wienera funkcje deterministyczne.

Dla funkcji prostej

h = ∑_{i=1}^{k} a_{i}𝟙_{(t_{i−1},t_{i}]}, 0 = t_{0} < t_{1} ≤ … < t_{k} = T, a_{i} ∈ ℝ,

określamy

I(h) = ∫_{0}^{T} h(t) d𝕎_{t} := ∑_{i=1}^{k} a_{i}(𝕎(t_{i}) − 𝕎(t_{i−1})).

Własności.

• 𝔼(∫_{0}^{T} h(t) d𝕎_{t}) = 0

• 𝔼(∫_{0}^{T} h(t) d𝕎_{t})^{2} = Var(∑ a_{i}(𝕎(t_{i}) − 𝕎(t_{i−1})) = ∑ a_{i}^{2}Var(𝕎(t_{i}) −

𝕎(t_{i−1})) = ∑ a_{i}^{2}(t_{i} − t_{i−1}) = ∫_{0}^{T} h^{2}(t) dt

• I(ah_{1} + bh_{2}) = aI(h_{1}) + bI(h_{2})

Mamy więc izometrię L^{2}([0, T]) ⊃ E_{1} ⟶^{I} L^{2}(Ω). Izometria ta rozszerza się jednoznacznie do \overline{E_{1}} = L^{2}([0, T]). Definicja 2.1. Rozszerzenie powyższej izometrii do L^{2}([0, T]) nazywamy całką Paleya-Wienera h i oznaczamy ∫_{0}^{T} h(t) d𝕎_{t}.

Własności I(h) = ∫_{0}^{T} h(t) d𝕎_{t}:

1. 𝔼I(h) = 0,

2. 𝔼I(h)^{2} = ∫_{0}^{T} h^{2} dt,

3. I(h) ma rozkład normalny N(0, ∫ h^{2} dt). ZAD 2.2.

Jeżeli h ∈ C^{1}([0, T]), to ∫_{0}^{T} h(t) d𝕎_{t} = h(T)𝕎_{T} − ∫_{0}^{T} h′(t)𝕎_{t} dt.

ZAD 2.3.

Jeżeli h ∈ L^{2}([0, 1]), to ∀_{t<T} ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,t]}(s)h(s) d𝕎_{s} = ∫_{0}^{t} h(s) d𝕎_{s} p.w.

ZAD 2.4.

∥ ∫_{0}^{T} h d𝕎_{t}∥_{L^{p}} = (𝔼|g|^{p})^{\frac{1}{p}} (∫_{0}^{T} h^{2} dt)^{1/2}, dla h ∈ L^{2}([0, T]), czyli I(h) = ∫_{0}^{T} h d𝕎_{t}

jest po unormowaniu izometrycznym włożeniem L^{2}([0, T]) w L^{p}(Ω).

3 Izometryczna całka stochastyczna

Od tego momentu zakładamy, że (Ω, F, ℙ) jest zupełną przestrzenią probabilistyczną (tzn. ℙ(A) = 0, B ⊂ A ⇒ ℙ(B) = 0), zaś (F_{t})_{t∈ℝ_{+}} zupełną filtracją (tzn. ∀_{t} F_{t} zupełne), oraz 0 < T ≤ ∞. Dodatkowo kładziemy

F_{∞} := σ( ⋃_{t∈T} F_{t}).

Martyngały ciągłe, całkowalne z kwadratem

Definicja 3.1. Przez M_{T}^{2,c} oznaczamy przestrzeń martyngałów względem (F_{t})_{t∈[0,T]} o trajektoriach ciągłych takich, że sup_{t≤T}, 𝔼M_{t}^{2} < ∞.

Uwaga 3.2. 1. M ∈ M_{T}^{2,c} ⇒ M^{2} podmartyngał, sup_{t≤T} 𝔼M_{t}^{2} = 𝔼M_{T}^{2}.

2. M ∈ M_{T}^{2,c} ⇒ 𝔼 sup_{t≤T} M_{t}^{2} nier. Dooba ; ≤ 4 sup_{t≤T} M_{t}^{2} < ∞.

3. Dla T = ∞, M_{∞}^{2,c} można utożsamić z martyngałami ciągłymi na [0, ∞) takimi, że sup_{t<∞} 𝔼M_{t}^{2} < ∞.

Istotnie (M_{t})_{t≥0} j.w., 𝔼 sup_{t≤T} M_{t}^{2} < ∞ ⇒ M_{t} zbieżny w L^{2}(Ω) oraz p.n.,

M_{∞} := lim_{t→∞} M_{t}, wtedy M_{t} = 𝔼(M_{∞}|F_{T}) p.n., czyli faktycznie otrzymujemy martyngał (M_{t})_{0≤t≤∞}.

Uwaga 3.3. W czasie całego wykładu nie będziemy odróżniać procesów nieodróżnialnych (czyli ℙ(∀_{t} X_{t} = Y_{t}) = 1).

Fakt 3.4. M_{t}^{2,c} jest przestrzenią Hilberta^{2} z iloczynem skalarnym

(M, N) = (M, N)_{T} = 𝔼M_{T} N_{T} ,
∥M∥_{T} = \sqrt{𝔼M_{T}^{2}} = ∥M_{T} ∥_{L^{2}(Ω)},

2czyli zupełną przestrzenią euklidesową

M_{T}^{2,c} zanurza się izometrycznie w L^{2}(Ω, F, ℙ).

Dowód. Oczywiście M_{T}^{2,c} jest przestrzenią liniową i (M, N) jest iloczynem skalarnym, bo (N, N) = 0 ⇒ 𝔼N_{T}^{2} = 0 ⇒ N_{T} = 0 p.n. ⇒ ∀_{t}N_{t} = 0 p.n. ⇒ ℙ(N_{t} = 0 ∀_{t}) = 1.

Przypomnienie X_{t}, Y_{t} ciągłe, X_{t} modyfikacją Y_{t} (tzn. X_{t} = Y_{t} p.n.) ⇒ X_{t} i Y_{t} nieodróżnialne ℙ(∀_{t} X_{t} = Y_{t}) = 1.

Wracamy do dowodu. Trzeba pokazać tylko zupełność. Załóżmy, że M_{t}^{(n)} ∈ M_{T}^{2,c} spełnia warunek Cauchy’ego, czyli M ∈ M^{2,c}

∥M^{(n)} − M^{(m)}∥_{T}^{2} = 𝔼(M_{T}^{(n)} − M_{T}^{(m)})^{2} ⟶^{m,n→∞} 0.

Wówczas M_{T}^{(n)} jest ciągiem Cauchy’ego w L^{2}(Ω, F_{T} , ℙ), czyli M_{T}^{(n)} → M_{T} w L^{2}(Ω, F_{T} , ℙ).

Możemy położyć M_{t} := 𝔼(M_{T} |F_{t}), ale czy M_{t} jest ciągły? Na mocy nierówności Dooba,

𝔼 sup_{t≤T}(M_{T}^{(n)} − M_{t}^{(m)})^{2} ≤ 4 sup_{t≤T} 𝔼∥M_{t}^{(n)} − M_{t}^{(m)}∥^{2} → 0.

Stąd możemy wybrać podciąg n_{k} taki, że

∀_{l>k} 𝔼 sup_{t≤T}(M_{t}^{(n_{k})} − M_{t}^{(n_{l})})^{2} ≤ 8^{−k}.

Wówczas

ℙ(sup_{t≤T} |M_{t}^{(n_{k})} − M_{t}^{(n_{k+1})}| ≥ 2^{−k}) ≤ 2^{−k}.

Zatem, jeśli

A_{k} := {sup_{t≤T} |M_{t}^{(n_{k})} − M_{t}^{(n_{k+1})}| ≥ 2^{−k}},

to ∑_{k} ℙ(A_{k}) < ∞, czyli

ℙ(lim sup A_{k}) = 0.

Jeśli ω ∉ lim sup A_{k}, to ω ∉ A_{k} dla k ≥ k_{0}(ω), czyli sup_{t≤T} |M_{t}^{(n_{k})} − M_{t}^{(n_{k+1})}| ≤

2^{−k} dla k ≥ k_{0}(ω). Zatem (M_{t}^{n_{k}})_{0≤t≤T} jest zbieżny jednostajnie na [0, T] do M̃_{t}, a ponieważ są to funkcje ciągłe na [0, T], to M̃_{t} jest ciągły. Ponieważ M_{T}^{(n_{k})} → M_{T} w L^{2} więc również w L^{1}, czyli M_{t}^{(n_{k})} = 𝔼(M_{T}^{(n_{k})}|F_{t}) → 𝔼(M_{T} |F_{t}) w L^{1}, a że M_{t}^{(n_{k})} → M̃_{t}, więc M̃_{t} = 𝔼(M_{T} |F_{t}) = M_{t} czyli M_{t} jest martyngałem ciągłym.

□

Procesy elementarne

Definicja 3.5. Powiemy, że proces X = (X_{t})_{t∈[0,T)} należy do E - rodziny procesów elementarnych (elementarnych procesów prognozowalnych), jeśli X jest postaci

X_{t} = ξ_{0}𝟙_{{0}} + ∑_{k=1}^{n} ξ_{k−1}𝟙_{(t_{k−1},t_{k}]}(t),

gdzie 0 = t_{0} ≤ … ≤ t_{m} < T, ξ_{k} - zmienna losowa ograniczona F_{t_{k}} mierzalna.

Oczywiście E jest przestrzenią liniową.

Definicja 3.6. Dla X ∈ E definiujemy proces

I(X) = ∫ X d𝕎,

I(X) = (I(X)_{t})_{t≤T} = (∫_{0}^{t} X_{s} d𝕎_{s})_{t≤T}

wzorem

I(X)_{t} := ∑_{k=1}^{m} ξ_{k−1}(𝕎_{t_{k}∧t} − 𝕎_{t_{k−1}∧t}).

Uwaga 3.7. Definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od reprezentacji X ∈ E.

Fakt 3.8. Jeśli X ∈ E, to I(X) ∈ M_{T}^{2,c}, I(X)_{0} = 0 oraz

∥I(X)∥_{T}^{2} = 𝔼(∫_{0}^{T} X_{s} d𝕎_{s})^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} ds.

Dowód. Oczywiście I(X)_{0} = 0, t → I(X)_{t} jest ciągłe i I(X)_{t} ∈ L^{2}(Ω, F, ℙ). Jeżeli t_{j} ≤ t ≤ t_{j+1}, to

I(X)_{t} = ξ_{0}(𝕎_{t_{1}} − 𝕎_{t_{0}}) + ξ_{1}(𝕎_{t_{2}} − 𝕎_{t_{1}}) + … + ξ_{j}(𝕎_{t} − 𝕎_{t_{j}})

jest F_{t} mierzalna.

Sprawdzimy teraz, że I(X) jest martyngałem, czyli dla s < t ≤ T mamy 𝔼(I(X)_{t}|F_{s}) = I(X)_{s}. Wystarczy pokazać to dla t_{j} ≤ s < t ≤ t_{j+1}, ale wtedy

𝔼(I(X)_{t} − I(X)_{s}|F_{s}) = 𝔼(ξ_{j}(𝕎_{t} − 𝕎_{s})|F_{s}) = ξ_{j}𝔼(𝕎_{t} − 𝕎_{s}|F_{s}) = 0

(pamiętamy, że ξ_{j} jest F_{t_{j}} ⊂ F_{s} mierzalne). By zakończyć dowód liczymy

𝔼I(X)_{T}^{2} = ∑_{k=1}^{m} 𝔼ξ_{k−1}^{2}(W_{t_{k}} − W_{t_{k−1}})^{2} + 2 ∑_{j<k} 𝔼ξ_{k−1}ξ_{j−1}(𝕎_{t_{k}} − 𝕎_{t_{k−1}})(𝕎_{t_{j}} − 𝕎_{t_{j−1}})
= I_{1} + I_{2}.

Ponadto

I_{1} = ∑_{k} 𝔼(ξ_{k−1}^{2}𝔼[\overbrace{(𝕎_{t_{k}} − 𝕎_{t_{k−1}})^{2}|F_{t_{k−1}}}^{niezależne}]) = ∑_{k} 𝔼ξ_{k−1}^{2}(t_{k}−t_{k−1}) = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} ds

oraz

I_{2} = 2 ∑_{j<k} 𝔼(ξ_{k−1}ξ_{j−1}𝔼[(𝕎_{t_{k}} − 𝕎_{t_{k−1}})(𝕎_{t_{j}} − 𝕎_{t_{j−1}})|F_{t_{k−1}}])

= 2 ∑_{j<k} 𝔼(ξ_{k−1}ξ_{j−1}(𝕎_{t_{j}} − 𝕎_{t_{j−1}})𝔼(𝕎_{t_{k}} − 𝕎_{t_{k−1}}|F_{t_{k−1}})) = 0,

bo 𝔼(𝕎_{t_{k}} − 𝕎_{t_{k−1}}) = 0.

□

Zdefiniowaliśmy zatem

L^{2}([0, T] × Ω, B([0, T]) ⊗ F, λ ⊗ ℙ) ↩ E ⟶^{I} M_{T}^{2,c}

Przekształcenie liniowe I jest izometrią, czyli rozszerza się do \overline{E}. Zatem I :

\overline{E} → M_{T}^{2,c} izometria oraz dla X ∈ \overline{E} otrzymujemy I(X)_{t} =^{ozn.} ∫_{0}^{t} X_{s} d𝕎_{s} -

dobrze określony ciągły martyngał.

Procesy prognozowalne

Pytanie: co to jest \overline{E}, czyli jakie procesy możemy całkować?

Definicja 3.9. σ ciało zbiorów prognozowalnych P, to σ ciało podzbiorów [0, T)×Ω generowane przez zbiory postaci {0} × A, (s, t] × A, s < t < T, A ∈ F_{s}.

Proces X = (X_{t})_{0≤t<T} jest prognozowalny, jeśli traktowany jako funkcja X : [0, T) × Ω → ℝ jest mierzalny względem P.

Z definicji natychmiast wynika, że X_{t}(ω) = 𝟙_{A}(ω)𝟙_{(u,v]}(t) jest prognozowalny jeśli A ∈ F_{u} oraz u ≤ v < T

Ponieważ każdą ograniczoną zmienną ξ, F_{u}–mierzalną można aproksymować jednostajnie przez ∑ a_{i}𝟙_{A_{i}}, A_{i} ∈ F_{u}, więc proces ξ(ω)𝟙_{(u,v]}(t) jest prognozowalny dla ξ zmiennej F_{u}–mierzalnej, ograniczonej. Stąd jest on także prognozowalny dla dowolnej zmiennej ξ nieujemnej F_{u}– mierzalnej, a zatem dla dowolnej F_{u}–mierzalnej zmiennej ξ.

Zatem dowolny proces Y ∈ E jest prognozowalny, czyli

E ⊂ L^{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ),

stąd

\overline{E} ⊂ L^{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ),

czyli X ∈ \overline{E} ⇒ X prognozowalne. Zachodzi również odwrotne zawieranie, to znaczy

Fakt 3.10. \overline{E} = L^{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ).

Dowód. Przypadek I: T < ∞. Najpierw pokażemy, że jeśli Γ ∈ P, to 𝟙_{Γ} ∈ \overline{E}.

Niech A := \{Γ ∈ P, 𝟙_{Γ} ∈ \overline{E}\} oraz

B := {{0} × A, A ∈ F_{0}, (u, v] × A : u < v < T, A ∈ F_{u}}.

Łatwo sprawdzić, że B jest π-układem, ponadto Γ ∈ B ⇒ 𝟙_{Γ} ∈ E ⊂ \overline{E}, a zatem B ⊂ A. Co więcej A jest λ-układem dla T < ∞, bo i) Γ = [0, T)×Ω ∈ A, czyli 𝟙_{Γ} = 1 ∈ \overline{E}, gdyż biorąc ciąg T_{n} ↗ T, otrzymujemy

E ∋ 𝟙_{\{0\}×Ω} + 𝟙_{[0,T_{n}]×Ω} = 𝟙_{[0,T_{n}]×Ω} ⟶^{L^{2}} 𝟙_{[0,T)×Ω} ∈ \overline{E}.

ii) Γ_{1}, Γ_{2} ∈ A, Γ_{1} ⊂ Γ_{2}, 𝟙_{Γ_{2}\Γ_{1}} = 𝟙_{Γ_{2}}−𝟙_{Γ_{1}} ∈ \overline{E} z liniowości \overline{E}, czyli Γ_{2}\Γ_{1} ∈ A. iii) Γ_{n} ∈ A wstępujący, wówczas 𝟙_{⋃ Γ_{n}} = L^{2} − lim_{n→∞} 𝟙_{Γ_{n}} ∈ \overline{E}, czyli ⋃ Γ_{n} ∈ A.

Zatem dla T < ∞, z twierdzenia o π-λ systemach A ⊃ σ(B) = P.

Dalej, jeśli Γ_{i} ∈ P, a_{i} ∈ ℝ, to ∑ a_{i}𝟙_{Γ_{i}} ∈ \overline{E} (z liniowości). Ponadto funkcje proste ∑ a_{i}𝟙_{Γ_{i}} są gęste w L^{2}([0, T)×Ω, P, λ⊗ℙ), czyli \overline{E} = L^{2}([0, T)×Ω, P, λ⊗Ω).

Przypadek II: T = ∞.

Niech X ∈ L^{2}([0, ∞) × Ω, P, λ ⊗ ℙ) oraz X_{t}^{(n)}(ω) := X_{t}(ω)𝟙_{[0,n)×Ω}(t, ω). Wówczas X^{(n)} prognozowalne, należace do L^{2}([0, n) × Ω, P, λ ⊗ ℙ), zatem X^{(n)} ∈ \overline{cale} na mocy przypadku I.

Ponadto X^{(n)} → X w L^{2}([0, ∞) × Ω, λ ⊗ ℙ) (tw. Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej), czyli X ∈ \overline{E}.

□

M ∈ M^{2,c}

Oznaczenie 3.11. L_{T}^{2} := L^{2}([0, T) × Ω, P, λ ⊗ ℙ)

Wniosek 3.12. X ∈ L_{T}^{2} ⇒ I(X) = ∫ X d𝕎 ∈ M_{T}^{2,c} jest dobrze zdefiniowanym cM ∈ M^{2,c} iągłym martyngałem.

Fakt 3.13. X = (X_{t})_{t∈[0,T]} proces adaptowany, lewostronnie ciągły ⇒ X prognozowalny.

Dowód.

\begin{matrix}T < ∞ & X_{t}^{(n)} = X_{0}𝟙_{\{0\}} + ∑_{k=1}^{2^{n}−1} X_{\frac{k−1}{2^{n}} T} 𝟙_{( \frac{k−1}{2^{n}} T, \frac{k}{2^{n}} T]} \\ T = ∞ & X_{t}^{(n)} = X_{0}𝟙_{\{0\}} + ∑_{k=1}^{n2^{n}} X_{\frac{k−1}{2^{n}}} 𝟙_{( \frac{k−1}{2^{n}} , \frac{k}{2^{n}}]} \end{matrix} \} prognozowalne

X_{t}^{(n)} → X_{t} punktowo z lewostronnej ciągłości, a granica ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.

□

Uwaga 3.14. i)X prognozowalny ⇒ X progresywnie mierzalny. ii) X progresywnie mierzalny ⇏ X prognozowalny. Można jednak pokazać, że jeśli X progresywnie mierzalny, całkowalny z kwadratem, to istnieje Y prognozowalny taki, że Y = X λ ⊗ ℙ p.n. Czyli jeśli X jest progresywnie mierzalny i

𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} ds < ∞, to ∫ X d𝕎 ma sens.

M ∈ M^{2,c}

Fakt 3.15.

Jeśli X ∈ L_{T}^{2} , to dla dowolnego t < T, 𝟙_{[0,t]}X ∈ L_{T}^{2} i ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,t]}(s)X_{s} d𝕎_{s} =

∫_{0}^{t} X_{s} d𝕎_{s}. Ponadto 𝔼(∫_{0}^{t} X d𝕎)^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds.

Dowód. Oczywiście (s, ω) → 𝟙_{[0,t]}(s) jest prognozowalny, stąd proces 𝟙_{[0,t]}X M ∈ M^{2,c} jest prognozowalny jako iloczyn prognozowalnych, zatem 𝟙_{[0,t]}X ∈ L_{T}^{2} .

Jeśli X ∈ E, X = ξ_{0}𝟙_{{0}}+∑ ξ_{k}𝟙_{(t_{k−1},t_{k}]}, to X𝟙_{[0,t]} = ξ_{0}𝟙_{{0}}+∑ ξ_{k}𝟙_{(t_{k−1}∧t,t_{k}∧t]} ∈

E oraz ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,t)}(s)X_{s} d𝕎_{s} = ∑ ξ_{k}(𝕎_{t_{k}∧t} − 𝕎_{t_{k−1}∧t}) = ∫_{0}^{t} X_{s} d𝕎_{s}.

Dla X ∈ L_{T}^{2} weźmy X^{(n)} ∈ E takie, że X^{(n)} → X w L_{T}^{2} . Wówczas oczywiście również X^{(n)}𝟙_{[0,t]} → X𝟙_{[0,t]} w L_{T}^{2} . Stąd

∫_{0}^{T} X_{s}𝟙_{[0,t]}(s)d𝕎_{s} ← ∫_{0}^{T} X_{s}^{(n)}𝟙_{[0,t]}(s)d𝕎_{s} = lim ∫_{0}^{t} X_{s}^{(n)}d𝕎_{s} → ∫_{0}^{t} X_{s}d𝕎_{s}

□

Twierdzenie 3.16. (o zatrzymaniu całki stochastycznej) Niech X ∈ L_{T}^{2} oraz τ będzie momentem zatrzymania. Wówczas 𝟙_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2} oraz

∀_{t≤T} ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s) d𝕎_{s} = ∫_{0}^{t∧τ} X_{s} d𝕎_{s}.  (3.17)

Dowód. Zauważmy, że biorąc τ ∧ T zamiast T możemy zakładać, że τ ≤ T p.n. Proces 𝟙_{[0,τ]}(t) jest lewostronnie ciągły i adaptowalny ({τ ≥ t} = ⋂_{n}{τ ≥ t − \frac{1}{n}\} ∈ F_{t}) a zatem jest prognozowalny, czyli 𝟙_{[0,τ]}X jest prognozowalny (iloczyn funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną). Stąd 𝟙_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2} . Wzór (3.17) udowodnimy w trzech krokach. Krok 1. X ∈ E, τ przyjmuje skończenie wiele wartości. Ewentualnie powiększająć ciąg t_{i} możemy zakładać, że X = ξ_{0}𝟙_{{0}}+ ∑_{k=1}^{m−1} ξ_{k}𝟙_{(t_{k},t_{k+1}]} oraz τ przyjmuje wartości 0 = t_{0} ≤ t_{1} ≤ … ≤ t_{m} ≤ T. Mamy

𝟙_{[0,τ]}(t) = ∑_{k=1}^{m} 𝟙_{{τ=t_{k}}}𝟙_{[0,t_{k}]}(t) = ∑_{k=1}^{m} (( ∑_{j=0}^{k−1} 𝟙_{{τ=t_{k}}}𝟙_{(t_{j},t_{j+1}]}(t)) + 𝟙_{{τ=t_{k}}}𝟙_{{0}})

= 𝟙_{Ω}𝟙_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} ∑_{k=j+1}^{m} 𝟙_{{τ=t_{k}}}𝟙_{(t_{j},t_{j+1}]}(t)

= 𝟙_{Ω}𝟙_{{0}}(t) + ∑_{j=0}^{m−1} 𝟙_{{τ>t_{j}}}𝟙_{(t_{j},t_{j+1}]}(t),

zatem

𝟙_{[0,τ]}(t)X = ξ_{0}𝟙_{{0}}(t) + ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}𝟙_{{τ>t_{j}}}𝟙_{(t_{j},t_{j+1}]}(t),

czyli 𝟙_{[0,τ]}(t)X ∈ E. Liczymy

∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)X_{s} d𝕎_{s} = ∑_{j=1}^{m−1} ξ_{j}𝟙_{{τ>t_{j}}}(𝕎_{t_{j+1}∧t} − 𝕎_{t_{j}∧t})

= ∑_{j=1}^{m−1} ∑_{k=j+1}^{k−1} ξ_{j}𝟙_{{τ=t_{k}}}(𝕎_{t_{j+1}∧t} − 𝕎_{t_{j}∧t})

= ∑_{k=1}^{m} 𝟙_{{τ=t_{k}}} ∑_{j=0}^{k−1} ξ_{j}(𝕎_{t_{j+1}∧t} − 𝕎_{t_{j}∧t})

= ∑_{k=1}^{m} 𝟙_{τ=t_{k}} ∫_{0}^{t∧t_{k}}X_{s} d𝕎_{s} = ∫_{0}^{t∧τ}X_{s} d𝕎_{s}.

Krok 2. τ dowolne oraz X ∈ E. Weźmy ciąg momentów zatrzymania τ_{n} przyjmujących skończenie wiele wartości taki, że τ_{n} ↘ τ. Na mocy kroku 1, para (τ_{n}, X) spełnia (3.17). Z ciągłości trajektorii całki stochastycznej, ∫_{0}^{t∧τ_{n}}X_{s} d𝕎_{s} → ∫_{0}^{t∧τ} X_{s} d𝕎_{s} p.n. Mamy

𝔼( ∫_{0}^{t}𝟙_{[0,τ_{n}]}(s)X_{s} d𝕎_{s} − ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)X_{s} d𝕎_{s})^{2}

= 𝔼( ∫_{0}^{t} 𝟙_{(τ,τ_{n}]}(s)X_{s} d𝕎_{s})^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{t} \overbrace{𝟙_{(τ,τ_{n}]}(s)X_{s}^{2}}^{punktowo→0} ds ⟶^{tw.Lebesgue′a} 0.

Stąd

∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎 ⟶^{L^{2}(Ω)} ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}X d𝕎

∥

∫_{0}^{t∧τ_{n}} X d𝕎 ⟶^{p.n.} ∫_{0}^{t∧τ} X d𝕎,

czyli spełnione jest (3.17). Krok 3. τ oraz X ∈ L_{T}^{2} dowolne. Weźmy X^{(n)} ∈ E takie, że X^{(n)} → X w L_{T}^{2} . Z kroku 2, para (τ, X^{(n)}) spełnia (3.17). Mamy

𝔼( ∫_{0}^{t∧τ} (X_{s}−X_{s}^{(n)}) d𝕎_{s})^{2} ≤ 𝔼( ∫_{0}^{T}(X−X^{(n)}) d𝕎)^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T}(X−X_{s}^{(n)})^{2} ds → 0,

pierwsza nierówność to optional sampling dla podmatryngału (∫_{0}^{t}(X−X^{(n)}) du)^{2}. Ponadto

𝔼( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)(X_{s} − X_{s}^{(n)}) d𝕎_{s})^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}(s)(X_{s} − X_{s}^{(n)})^{2} ds

≤ 𝔼 ∫_{0}^{T}(X_{s} − X_{s}^{(n)})^{2} ds → 0.

Stąd

∫_{0}^{t∧τ} X_{s}^{(n)} d𝕎_{s} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}X_{s}^{(n)} d𝕎_{s}
↓ L^{2}(Ω)  ↓ L^{2}(Ω)
∫_{0}^{t∧τ} X_{s} d𝕎_{s}  ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}X_{s} d𝕎_{s},

czyli (3.17) spełnione jest i w tym przypadku.

□

Wniosek 3.18. M := (∫ X d𝕎)^{2} − ∫ X^{2} ds jest martyngałem.

Dla X ≡ 1 otrzymujemy znany fakt, że W_{t}^{2} − t jest martyngałem.

Dowód wniosku oparty jest na następującym prostym fakcie.

Fakt 3.19. Załóżmy, że M jest adaptowalnym, prawostronnie ciągłym procesem takim, że M_{0} = 0 i dla wszystkich t, 𝔼|M_{t}| < ∞. Wówczas M jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy 𝔼M_{τ} = 0 dla wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania τ.

Dowód. ⇒: Z tw. Dooba 𝔼M_{τ} = 𝔼M_{0} = 0

⇐: Musimy pokazać, że dla s < t, 𝔼(M_{t}|F_{s})=M_{s} p.n., czyli 𝔼M_{t}𝟙_{A} = 𝔼M_{s}𝟙_{A} dla wszystkich A ∈ F_{s}. Określmy

τ := \{ \begin{matrix}s dlaw ∈ A \\ t dlaw ∉ A. \end{matrix}

Jak łatwo sprawdzić τ jest momentem zatrzymania, stąd

0 = 𝔼M_{τ} = 𝔼M_{s}𝟙_{A} + 𝔼M_{t}𝟙_{A^{c}} = 𝔼M_{s}𝟙_{A} − 𝔼M_{t}𝟙_{A},

gdzie ostatnia równość wynika z faktu, że

𝔼M_{t}𝟙_{A^{c}} = 𝔼M_{t} − 𝔼M_{t}𝟙_{A} = 0 − 𝔼M_{t}𝟙_{A}.

□

Dowód wniosku.

Jak wiemy ∫ X d𝕎 ∈ M_{τ}^{2,c}, czyli M jest ciągły, adaptowalny i całkowalny oraz M_{0} = 0. Dla ograniczonego momentu zatrzymania τ ≤ T otrzymujemy na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej

𝔼( ∫_{0}^{τ} X d𝕎)^{2} = 𝔼( ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ]}X d𝕎)^{2} =^{izom. z L_{T}^{2} w M_{T}^{2,c}} 𝔼 ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ]}(s)X_{s}^{2} ds

= 𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds.

Zatem

𝔼M_{τ} = 𝔼[( ∫_{0}^{T} X d𝕎)^{2} − ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} ds] = 0.

□

Uogólnienie definicji całki stochastycznej

Definicja 3.20.

Λ_{T}^{2} - procesy (X_{t})_{t<T} prognozowalne takie, że ∀_{t<T} ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds < ∞ p.n.

Zatem proces prognozowalny X ∈ Λ_{T}^{2} ⇔ ℙ(∀_{t<T} ∫_{0}^{t} X_{s} ds < ∞) = 1. Λ_{T}^{2} jest

przestrzenią liniową, ale nie Hilberta. Na Λ_{T}^{2} można wprowadzić metrykę przestrzeni Frecheta generowaną przez ciąg metryk euklidesowych.

Oznaczenie 3.21. Jeśli X = (X_{t})_{t∈I} jest procesem stochastycznym, a τ momentem zatrzymania, to X^{τ} = (X_{t}^{τ})_{t∈I} jest procesem zdefiniowanym wzorem

X_{t}^{τ} := X_{t∧T} .

Lemat 3.22. Dla X ∈ Λ_{T}^{2} określmy

τ_{n} := inf {t : ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds ≥ n} ∧ T n = 1, 2, ….

Wówczas (τ_{n}) jest rosnącym ciagiem momentów zatrzymania, τ_{n} ↗ T p.n. Ponadto dla wszystkich n, 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} .

Dowód. τ_{n} jest momentem zatrzymania jako moment dojścia przez adaptowalny proces ciągły ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds do zbioru domkniętego [n, ∞). Z założenia o skończoności ∫ X_{s}^{2} ds wynika, że τ_{n} ↗ T p.n.

Proces 𝟙_{[0,τ_{n}]}X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, ponadto

𝔼( ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ_{n}]}(s)X_{s}^{(n)} ds)^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{τ_{n}} X_{s}^{2} ds ≤ n < ∞.
□

Załóżmy, że mamy dany ciąg momentów zatrzymania τ_{n} ↗ T p.n. taki, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} dla wszystkich n. Niech M_{n}(t) := ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎.

Lemat 3.23. Jeśli m ≥ n, to M_{m}(t) = M_{n}(t) dla t ≤ τ_{n}. Procesy M_{m}^{τ_{n}} i M_{n} są nierozróżnialne, czyli ℙ(∀_{t} M_{m}(t ∧ τ_{n}) = M_{n}(t)) = 1.

Dowód. Na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej,

M_{m}(τ_{n}∧t) = ∫_{0}^{τ_{n}∧t} 𝟙_{[0,τ_{m}]}X d𝕎 = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}𝟙_{[0,τ_{m}]}X d𝕎 = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎 = M_{n}(t).

Druga część lematu wynika z ciągłości.

□

Definicja 3.24. Całką stochastyczną ∫ X d𝕎 dla X ∈ Λ_{T}^{2} oznaczamy taki (dokładnie jeden modulo nierozróżnialne) proces (M_{t}) = (∫_{0}^{t} X d𝕎)_{t<T}, że M_{t}^{τ_{n}} = ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X d𝕎 = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎 dla n = 1, 2, … (wcześniejsza izometryczna definicja całki stochastycznej).

Fakt 3.25. Ta definicja jest poprawna, jednoznaczna, a proces M jest ciągły.

Dowód. Na mocy Lematu 3.23 dla każdego m > n istnieje zbiór N_{n,m} taki, że ℙ(N_{n,m}) = 0 oraz dla ω ∉ N_{n,m} zachodzi M_{n}(t, ω) = M_{m}(t ∧ τ_{n}(ω), ω) dla wszystkich t < T. Niech N := ⋃_{m>n} N_{n,m}, wówczas ℙ(N) = 0 oraz dla ω ∉ N, t ≤ τ_{n}(ω) ciąg (M_{m}(t, ω))_{m≥n} jest stały. Zatem możemy (i musimy) położyć M(t, ω) := M_{n}(t, ω) dla t ≤ τ_{n}(ω).

□

Fakt 3.26. Definicja ∫ X d𝕎 nie zależy od wyboru τ_{n} dla X ∈ Λ_{T}^{2} . Dokładniej, jeśli τ_{n}, \overline{τ}_{n} - momenty zatrzymania, τ_{n} ↗ T, \overline{τ}_{n} ↗ T, 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} i 𝟙_{[0,\overline{τ}_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} oraz M, \overline{M} zdefiniowane za pomocą τ_{n}, \overline{τ}_{n} odpowiednio, to procesy M i \overline{M} są nierozróżnialne.

Dowód. Mamy

M_{t∧τ_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎, \overline{M}_{t∧\overline{τ}_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,\overline{τ}]}X d𝕎.

Na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej,

M_{t∧τ_{n}∧\overline{τ}_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}𝟙_{[0,\overline{τ}_{n}]}X d𝕎 = \overline{M}_{t∧τ_{n}∧\overline{τ}_{n}}.

Ponadto τ_{n}, \overline{τ}_{n} ↗ T więc t ∧ τ_{n} ∧ \overline{τ}_{n} = t dla n ≥ n(ω) i stąd M_{t} = \overline{M}_{t} p.n., a że są to procesy ciągłe, to są nierozróżnialne.

□

Definicja 3.27. Jeżeli dla procesu adaptowalnego M = (M_{t})_{t<T}, istnieje ciąg momentów zatrzymania τ_{n} ↗ T taki, że M^{τ_{n}} jest martyngałem, to M nazywamy martyngałem lokalnym. Jeśli dodatkowo M^{τ_{n}} ∈ M_{T}^{2,c}, to mówimy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym całkowalnym z kwadratem. Klasę takich procesów oznaczamy M_{T,loc}^{2,c} (M_{loc}^{2,c} jeśli wartość T jest jasna z kontekstu).

Fakt 3.28. Załóżmy, że M = ∫ Xd𝕎 dla X ∈ Λ_{2}^{T}. Wówczas

i) M jest procesem ciągłym, M_{0} = 0; ii) M ∈ M_{T,loc}^{2,c}; iii) Przekształcenie X → ∫ Xd𝕎 jest liniowe.

Dowód. Punkty i), ii) wynikają z definicji. By udowodnić iii) weźmy X, Y ∈ Λ_{T}^{2} Istnieją wówczas momenty zatrzymania τ_{n} ↗ T i \overline{τ}_{n} ↗ T takie, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} oraz 𝟙_{[0,\overline{τ}_{n}]}Y ∈ L_{T}^{2} . Przyjmując σ_{n} := \overline{τ}_{n}∧τ_{n} ↗ T otrzymujemy 𝟙_{[0,σ_{n}]}X, 𝟙_{[0,σ_{n}]}Y ∈ L_{T}^{2} , a zatem 𝟙_{[0,σ_{n}]}(aX + bY) ∈ L_{T}^{2} dla dowolnych a, b ∈ ℝ. Stąd na mocy definicji otrzymujemy, że ∫_{0}^{t∧σ_{n}}(aX + bY) d𝕎 = a ∫_{0}^{t∧σ_{n}} X d𝕎 + b ∫_{0}^{t∧σ_{n}} Y d𝕎 i biorąc granicę n → ∞ ∫ (aX + bY) d𝕎 = a ∫ Xd𝕎 + b ∫ Y d𝕎.

□

Fakt 3.29. (uogólnienie twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej) Jeśli X ∈ Λ_{T}^{2} , to dla dowolnego momentu zatrzymania τ, 𝟙_{[0,τ]}X ∈ Λ_{T}^{2} oraz

∫_{0}^{t∧τ} X d𝕎 = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}X d𝕎

Dowód. Proces 𝟙_{[0,τ]}X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, stąd 𝟙_{[0,τ]}X ∈ Λ_{T}^{2} . Proces X ∈ Λ_{T}^{2} , więc istnieje ciąg τ_{n} ↗ T taki, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} . Wtedy też 𝟙_{[0,τ_{n}]}𝟙_{[0,τ]}X ∈ L_{T}^{2} . Niech

M := ∫ X d𝕎 M^{(τ)} := ∫ 𝟙_{[0,τ]}X d𝕎.

Na mocy definicji,

M_{t∧τ_{n}} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎, M_{t∧τ_{n}}^{(τ)} = ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}𝟙_{[0,τ]}X d𝕎.

Z udowodnionego wcześniej twierdzenia o zatrzymaniu całki izometrycznej,

M_{t∧τ∧τ_{n}} = ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎 = M_{t∧τ_{n}}^{(τ)}.

Biorąc n → ∞ dostajemy M_{t}^{τ} = M_{t∧τ} = M_{t}^{(τ)} czyli M^{τ} = M^{(τ)}.

□

Twierdzenie 3.30. (Nierówność Dooba) Dla dowolnego procesu X ∈ Λ_{2}^{T} oraz momentu zatrzymania τ ≤ T,

𝔼 sup_{t<τ} ( ∫_{0}^{t} X d𝕎)^{2} ≤ 4𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds(≤ ∞).

Dowód. Weźmy τ_{n} ↗ T takie, że 𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ L_{T}^{2} . Mamy

𝔼 sup_{t<τ} ( ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X d𝕎)^{2} = 𝔼 sup_{t<τ} ( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎)^{2} = 𝔼 sup_{t<T} ( ∫_{0}^{t∧τ} 𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎)^{2}

= 𝔼 sup_{t≤T} ( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,τ]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎)^{2}

(𝟙_{[0,T]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X ∈ M_{T}^{2,c}, więc t < T można zamienić na t ≤ T). Na mocy nierówności Dooba dla martyngałów,

𝔼 sup_{t≤T}( ∫_{0}^{t} 𝟙_{[0,T]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎)^{2} ≤ 4𝔼( ∫_{0}^{T} 𝟙_{[0,τ]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X d𝕎)^{2}

= 4𝔼 ∫_{0}^{T} (𝟙_{[0,T]}𝟙_{[0,τ_{n}]}X_{s})^{2} ds = 4𝔼 ∫_{0}^{τ∧τ_{n}} X_{s}^{2} ds ≤ 4𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds

Wykazaliśmy zatem, że

𝔼 sup_{t<τ} ( ∫_{0}^{t∧τ_{n}} X d𝕎)^{2} ≤ 4𝔼 ∫_{0}^{τ} X_{s}^{2} ds

Ponieważ

sup_{t<τ}(∫_{0}^{t∧τ_{n}} X d𝕎)^{2} = sup_{t<τ∧τ_{n}}(∫_{0}^{t} X d𝕎)^{2} ↗ sup_{t<τ}(∫_{0}^{t} X d𝕎)^{2},

więc teza wynika z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej.

□

Uwaga 3.31. M = ∫ X d𝕎 dla X ∈ Λ_{T}^{2} \underline{nie musi być} martyngałem, nawet nie musi być

M_{t} ∈ L^{1}. Ale jeśli ∀_{t<T} 𝔼 ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds < ∞ to M \underline{jest martyngałem}, bo za τ_{n}

możemy wziąć τ_{n} = t_{n}, gdzie t_{n} jest ciągiem rosnącym zbieżnym do T, M_{t∧τ_{n}} = M_{t∧t_{n}} ∈ M_{T}^{2,c}.

4 Całka względem ciągłych martyngałów

Oznaczenie 4.1. M_{T}^{2,c} ciągłe martyngały takie, że sup_{t<T} 𝔼M_{T}^{2} < ∞. M^{2,c} to są martyngały ciągłe takie, że M_{t}^{2} < ∞ ∀_{t<T} (jest to oczywiście szersza klasa).

Uogólnimy definicję ∫ X d𝕎 na ∫ X dM dla M ∈ M^{2,c}.

Twierdzenie 4.2. (rozkład Dooba-Meyera) Dla M ∈ M^{2,c} istnieje proces ⟨M⟩ o trajektoriach ciągłych, niemalejących, przyjmujący 0 w zerze taki, że M^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem. Co więcej proces ⟨M⟩ jest wyznaczony jednoznacznie.

Dowód. Pokażemy tylko jednoznaczność rozkładu. Załóżmy, że M_{t}^{2} − Y_{t} i M_{t}^{2} − Z_{t} dwa martygnały o ciągłych trajektoriach oraz Y_{t}, Z_{t} niemalejące, ciągłe. Trajektorie procesu Y_{t} − Z_{t} mają wahanie skończone p.n., ponadto Y_{t} − Z_{t} = (M_{t}^{2} − Z_{t}) − (M_{t}^{2} −Y_{t}) jest martyngałem ciągłym. Stąd (na podstawie zadania z * z ćwiczeń) Y − Z ≡ 0.

□

Przykład 4.3. Dla procesu Wienera ⟨𝕎⟩_{t} = t. Ogólniej, pokazaliśmy, że ⟨∫ X_{s} d𝕎_{s}⟩_{t} = ∫_{0}^{t} X_{s}^{2} ds dla X ∈ L_{T}^{2} .

Ponieważ dla wszystkich ω, t → ⟨M⟩_{t}(ω) jest niemalejące, zatem ma wahanie skończone, czyli można określić miarę d⟨M⟩_{t}(ω). Następna definicja jest naturalnym uogólnieniem definicji dla procesu Wienera.

Definicja 4.4. Dla M ∈ M^{2,c} określamy

L_{T}^{2} (M) = {X = (X_{t})_{t<T} - prognozowalne takie, że 𝔼 ∫_{0}^{T} d⟨M⟩_{s} < ∞}.

E oznacza jak wcześniej klasę procesów elementarnych. Weźmy

E ∋ X = ξ_{0}𝟙_{{0}} + ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}𝟙_{[t_{k},t_{k+1}]},

gdzie 0 ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ … ≤ t_{m+1} < T, ξ_{k} - F_{t_{k}} mierzalne, ograniczone. Kładziemy

∫_{0}^{t} X dM := ∑_{k=1}^{m} ξ_{k}(M_{t_{k+1}∧t} − M_{t_{k}∧t}).

Fakt 4.5. Niech M ∈ M^{2,c} oraz X ∈ E. Wówczas I(X) := ∫ X dM ∈ M_{T}^{2,c}, I(X)_{0} = 0 oraz

∥I(X)∥_{T}^{2} = 𝔼( ∫_{0}^{T} X_{s} dM_{s})^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} d⟨M⟩_{s} = ∥X∥_{L_{T}^{2} (M)}^{2}.

Dowód. Ciągłość I(X), warunek I(X)_{0} = 0 oraz to, że I(X)_{t} ∈ L^{2} dla wszystkich t są oczywiste. Dla t_{j} ≤ t ≤ t_{j+1} mamy

I(X)_{t} = ξ_{1}(M_{t_{2}} − M_{t_{1}}) + ξ_{2}(M_{t_{3}} − M_{t_{2}}) + … + ξ_{j}(M_{t} − M_{t_{j+1}}).

Dla t_{j} ≤ t ≤ s ≤ t_{j+1} otrzymujemy zatem

𝔼(I(X)_{s}|F_{t}) − I(X)_{t} = 𝔼(ξ_{j}(M_{s} − M_{t})|F_{t}) = ξ_{j}(𝔼(M_{s}|F_{t}) − M_{t}) = 0,

czyli I(X) jest martyngałem. Ponadto

𝔼I(X)_{T}^{2} = ∑_{k=1}^{m} 𝔼[ξ_{k}^{2}(M_{t_{k+1}}−M_{t_{k}})^{2}]+2 ∑_{j<k} 𝔼[ξ_{k−1}ξ_{j−1}(M_{t_{k}}−M_{t_{k−1}})(M_{t_{j}}−M_{t_{j−1}})] = 𝕀+𝕀𝕀

Zauważmy, że dla s < t,

𝔼((M_{t} − M_{s})^{2}|F_{s}) = 𝔼(M_{t}^{2} − ⟨M⟩_{t}|F_{s}) + 𝔼(⟨M⟩_{t}|F_{s}) − 2M_{s}𝔼(M_{s}|F_{s}) + M_{s}^{2}
= M_{s}^{2} − ⟨M⟩_{s} + 𝔼(⟨M⟩_{t}|F_{s}) − M_{s}^{2} = 𝔼(⟨M⟩_{t} − ⟨M⟩_{s}|F_{s})

Stąd

𝕀 = ∑ 𝔼ξ_{k}^{2}𝔼[(M_{t_{k+1}} − M_{t_{k}})^{2}|F_{t_{k}}] = ∑ 𝔼ξ_{k}^{2}𝔼(⟨M⟩_{t_{k+1}} − ⟨M⟩_{t_{k}}|F_{t_{k}}) =
= 𝔼ξ_{k}^{2}(⟨M⟩_{t_{k+1}} − ⟨M⟩_{t_{k}}) = 𝔼 ∑ ∫_{t_{k}}^{t_{k+1}} ξ_{k}^{2} d⟨M⟩_{s} = 𝔼 ∫_{0}^{T} X_{s}^{2} d⟨M⟩_{s}.

Ponadto

𝕀 = 2 ∑_{j<k} 𝔼[ξ_{k−1}ξ_{j−1}(M_{t_{j}} − M_{t_{j−1}})𝔼(M_{t_{k}} − M_{t_{k−1}}|F_{t_{k−1}}] = 0.

□

Tak jak dla procesu Wienera dowodzimy, że domknięcie E w przestrzeni L^{2}([0, T) × Ω, d⟨M⟩ ⊗ ℙ) jest równe \overline{E} = L_{T}^{2} (M). Izometrię I(X) możemy przedłużyć do \overline{E}, w ten sposób otrzymujemy izometryczną definicję całki I(X) = ∫ X dM dla X ∈ L_{T}^{2} (M).

Podobnie jak dla ∫ X d𝕎, izometryczną całkę stochastyczną ∫ X dM rozszerzamy następnie do X należących do przestrzeni

Λ_{T}^{2} (M) = {X prognozowalne : ∀_{t<T} ∫_{0}^{t} X^{2} d⟨M⟩_{s} < ∞ p.n. }

Zajmiemy się teraz interpretacją procesu ⟨M⟩. Zacznijmy od udowodnienia dwóch faktów, które wykorzystamy później.

Lemat 4.6. Niech ξ_{n} zmienne losowe oraz A_{k} ∈ F takie, że A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ … i ℙ(⋃ A_{n}) = 1. Załóżmy, że dla wszystkich k, zmienne ξ_{n}𝟙_{A_{k}} zbiegają według prawdopodobieństwa (przy n → ∞) do zmiennej η_{k}. Wówczas ξ_{n} zbiega według prawdopodobieństwa do zmiennej η takiej, że η𝟙_{A_{k}} = η_{k} p.n. dla k = 1, 2, . . ..

Dowód. Dla k ≤ l mamy η_{l}𝟙_{A_{k}} = η_{k} p.n., gdyż pewien podciąg ξ_{n_{s}}𝟙_{A_{l}} → η_{l} p.n., a zatem ξ_{n_{s}}𝟙_{A_{l}} = ξ_{n_{s}}𝟙_{A_{l}}𝟙_{A_{k}} → η_{l}𝟙_{A_{k}} p.n. (czyli również wg ℙ). Stąd istnieje zmienna losowa η taka, że η𝟙_{A_{k}} = η_{k} p.n.

Szacujemy dla odpowiednio dużego n,

ℙ(|ξ_{n} − η| ≥ ε) ≤ ℙ(A_{k}^{c}) + ℙ(|ξ_{n}𝟙_{A_{k}} − η𝟙_{A_{k}}| ≥ ε),

gdyż ℙ(A_{k}^{c}) ≤ ε/2 dla dużego k oraz przy ustalonym k, ℙ(|ξ_{n}𝟙_{A_{k}} − η_{k}| ≥ ε) ≤ ε/2 dla dużych n.

□

Kolejny lemat pokazuje, że przy pewnych prostych założeniach można ze zbieżności według prawdopodobieństwa wyprowadzić zbieżność w L^{1}.

Lemat 4.7. Załóżmy, że ξ_{n} ≥ 0, ξ_{n} → ξ według ℙ oraz dla wszystkich n, 𝔼ξ_{n} = 𝔼ξ < ∞. Wówczas ξ_{n} → ξ w L^{1}.

Dowód. Mamy

𝔼|ξ − ξ_{n}| = 𝔼(|ξ − ξ_{n}| − (ξ − ξ_{n})) = 2𝔼(ξ − ξ_{n})𝟙_{{ξ≥ξ_{n}}}

≤ \frac{ε}{2} + 2𝔼(ξ − ξ_{n})𝟙_{\{ξ≥ξ_{n}+ \frac{ε}{4} \}} ≤ \frac{ε}{2} + 2𝔼ξ𝟙_{\{ξ≥ξ_{n}+ \frac{ε}{4} \}}.

Na mocy zbieżności według prawdopodobieństwa lim_{n→∞} ℙ(ξ ≥ ξ_{n} + ε/4) = 0. Ponadto 𝔼|ξ| = 𝔼ξ < ∞, zatem {ξ} jest jednostajnie całkowalna , czyli |𝔼ξ𝟙_{A}| ≤ ε/2 dla odpowiednio małego ℙ(A). Stąd 𝔼ξ𝟙_{{ξ≥ξ_{n}+ε/4}} ≤ ε/2 dla dużych n, a więc 𝔼|ξ − ξ_{n}| ≤ ε.

□

Niech Π = {t_{0}, t_{1}, …, t_{k}} podział [0, t] taki, że 0 = t_{0} ≤ t_{1} ≤ … ≤ t_{n} = t. Definiujemy wówczas

V_{Π}(M, t) := ∑_{i=1}^{k}(M_{t_{i}} − M_{t_{i−1}})^{2}.

Możemy teraz sformułować twierdzenie pokazujące, iż ⟨M⟩_{t} jest granicą V_{Π}(M, t), dlatego też ⟨M⟩ nazywa się często kwadratową wariacją M.

Twierdzenie 4.8. Załóżmy, że M ∈ M^{2,c}, t < T oraz Π_{n} jest ciągiem podziałów [0, t] takim, że diam(Π_{n}) → 0. Wówczas V_{Π_{n}}(M, t) →⟩M⟨_{t} w L^{1}(Ω, F).